Lesson 1 — Summary

7 assignments · 0 connections · est. points from connections: 0
Conn. density: 0.0/assignment
Avg. pts/assignment: 0.0

1.1 0p from connections

Rita de olika signalerna nedan, där x(t) är definierad enligt figuren. Bild: triangel-puls med bas från t=-4 till t=2, topp vid t=-4? (se bild) a) y_a(t) = x(t - 4) b) y_b(t) = x(t…
Show full question
Rita de olika signalerna nedan, där x(t) är definierad enligt figuren. Bild: triangel-puls med bas från t=-4 till t=2, topp vid t=-4? (se bild) a) y_a(t) = x(t - 4) b) y_b(t) = x(t / 1,5) c) y_c(t) = x(-t) d) y_d(t) = x(2t - 4) e) y_e(t) = x(2 - t)
Solution (notes)
a) [Figure: y_a(t) piecewise triangular signal: at t=0 value ~4, decreasing linearly to 0 at t≈4, then small triangular peak around t≈6] b) [Figure: y_b(t) triangular shape starting at t≈-6 rising then decreasing to 0 at t=0 then small triangle rising to t≈3] c) [Figure: y_c(t) piecewise: small left triangle between t≈-2 and 0, then linearly increasing to value ~4 at t≈4] d) Tidsskalaning och tidsförskjutning, i valfri ordning: Tidsskalaning först ⇒ Låt x1(t) = x(2t); ⇒ y_d(t) = x(2t − 4) = x(2(t − 2)) = x1(t − 2); [Figur visar x1(t) och därefter y_d(t)] Om tidsförskjutning först ⇒ Låt x2(t) = x(t − 4); ⇒ y_d(t) = x(2t − 4) = x2(2t) [Figur visar x2(t) och y_d(t)] e) Spegling och tidsförskjutning, i valfri ordning: Spegling först ⇒ Låt x3(t) = x(−t); ⇒ y_e(t) = x(2 − t) = x(−(t − 2)) = x3(t − 2); [Figur visar x3(t) och y_e(t)] Om tidsförskjutning först ⇒ Låt x4(t) = x(t + 2); ⇒ y_e(t) = x(2 − t) = x(−t + 2) = x4(−t); [Figur visar x4(t) och y_e(t)]
Connections (4) est. points: 0
exam_3 - assignment 3 b
3 p
Snippet: exam_3 Q3b: input x(t)=e^{2t} u_0(2 − t) (i.e. a time-reversed/shifted step window) is convolved with h(t)=δ(t)+2 e^{−3t} u(t). Rewriting u_0(2−t) as a shifted and reversed step and handling the resulting integration limits is exactly the kind of operation (reflection + shift, and their order) treated in lesson 1.1(e). Knowing the lesson gives the correct way to express x(t) in shifted/reflected form and thus yields the main part of the piecewise convolution — worth a significant fraction of the 5-point subproblem (estimated 3 points).
exam_5 - assignment 2 b
3 p
Snippet: exam_5 Q2b: compute h(t)=h_A(t) * h_B(t) where h_B(t)=u(t−1) − u(t−4) (a shifted rectangular window). The convolution requires shifting h_A and integrating over the shifted interval [1,4] (or appropriate piecewise limits). Lesson 1.1 (time-shift and order of operations) directly provides the method to express shifted signals and set integration limits, which supplies most of the work for this 5-point convolution part (estimated 3 points).
exam_2 - assignment 4
2 p
Snippet: exam_2 Q4: x(t)=Δ(t/2) is sampled and then passed to a discrete LTI system. The time-scaling x(t)=Δ(t/2) changes the signal's duration and thus scales its spectrum; lesson 1.1(d) on time-scaling (and how scaling interacts with subsequent shifts/operations) is directly useful to sketch X(Ω) before/after sampling. This helps sketching the amplitude spectra portions of the 8-point question (estimated contribution ~2 points).
exam_4 - assignment 4
–
Snippet: exam_4 Q4: h[n]=δ[n]+(1/3)^n u[n−1] and x[n]=u[n+3]−u[n−3]; compute y[n] via convolution. The problem relies on shifting discrete steps and signals (u[n±k]) and understanding how shifts affect convolution limits. Lesson 1.1 teaches continuous-time shifting, scaling and reflection; the same concepts (shift/reverse and order) are the direct prerequisites here. This is a useful prerequisite but not by itself sufficient to produce the full answer, so no direct point allocation is given.

1.2 0p from connections

Ange, med hjälp av bland annat enhetssteget u(t), signalerna a(t) och b(t) nedan på sluten form. Bild a(t): triangulär puls som går från t=-1 till t=2 med toppvärde 4 vid t=0 (linj…
Show full question
Ange, med hjälp av bland annat enhetssteget u(t), signalerna a(t) och b(t) nedan på sluten form. Bild a(t): triangulär puls som går från t=-1 till t=2 med toppvärde 4 vid t=0 (linjärt upp från -1 till 0 sen ner till 2). Bild b(t): signal med form t^2 upp till t=2 (stigande kurva) och sedan 4 e^{-(t-2)} för t≥2 (avtagande exponentiell), med max ungefär vid t=2 och amplitud 4.
Solution (notes)
Se svar!
No listed connections.

1.3 0p from connections

Förenkla följande uttryck: a) (jω + 2)/(ω^2 + 9) · δ(ω) b) [sin((π/2)(t - 2))]/(t^2 + 4) · δ(1 - t) c) PV{1/(jω)} + π·δ(ω) · jω/(5 + jω) (anteckning i bilden: PV = principalvärdet,…
Show full question
Förenkla följande uttryck: a) (jω + 2)/(ω^2 + 9) · δ(ω) b) [sin((π/2)(t - 2))]/(t^2 + 4) · δ(1 - t) c) PV{1/(jω)} + π·δ(ω) · jω/(5 + jω) (anteckning i bilden: PV = principalvärdet, se formelsd. sid. 3)
Solution (notes)
a) (jω + 2)/(ω^2 + 9) δ(ω) = /(diracimpulsen finns vid ω = 0/) = (j0 + 2)/(0^2 + 9) δ(ω) = 2/9 δ(ω) b) sin((π/2)(t − 2))/(t^2 + 4) · δ(1 − t) = /diracimpulsen δ(1 − t) = δ(t − 1) finns vid t = 1/ ⇒ sin((π/2)(1 − 2))/(1^2 + 4) δ(t − 1) = sin(−π/2)/5 δ(t − 1) = −1/5 δ(t − 1) c) ( principal value terms shown ) (ypˆV {1/jω} + πδ(ω)) · (jω/(5 + jω)) = jω·ypˆV{1/jω·5 + jω} + (π·jω)/(5 + jω) δ(ω) = 1/(5 + jω) + π·j·0/(5 + j0) δ(ω) = 1/(5 + jω) (Conclusion: simplifies to 1/(5 + jω))
Connections (4) est. points: 0
exam_6:2
–
Snippet: “H2 has impulse h2(t) = K·δ(t).” — exam asks feedback stability as function of K. Why connected: knowing the transform of δ(t) (F{δ}=1) and how an impulse in time corresponds to a constant multiplicative factor in the transformdomain is directly used when forming the loop gain H1(s)·H2(s) and computing H_tot(s)=H1/(1+H1 H2). Lesson 1.3 teaches the basic δ(t) sampling/transform property that makes the algebra trivial (δ → evaluation / constant).
exam_3:3
–
Snippet (from solution): “h(t) = δ(t) + 2 e^{-3t} u(t) ⇒ H(ω) = 1 + 2/(3 + jω).” — exam asks y(t) for sinusoidal input. Why connected: the step of turning δ(t) into 1 in the frequency domain is exactly the delta property used in lesson 1.3 (multiplying/transforming with δ). Knowing that F{δ}=1 and how δ contributes to H(ω) directly gives the first term in H(ω) and is a necessary/prerequisite fact for computing the steady-state response to a sinusoid.
exam_5:4
–
Snippet: “Insignal x[n] = (0.5^n + 1) u[n] → utsignal y[n] = 2 δ[n] − 1.5 δ[n−1].” — exam asks H(z), pole-zero plot, h[n]. Why connected: lesson 1.3 covers how multiplication by δ (and time-shifted δ) samples signals and how impulses appear in outputs. Understanding the sampling/sifting property of δ (f(t)δ(t−t0)=f(t0)δ(t−t0)) helps interpret impulse-form outputs and connect them to H(z) terms; this is a prerequisite concept used when reasoning about impulse outputs and constructing H(z).
exam_1:6
–
Snippet: “Sampling: relation X[Ω] = (1/T) Σ_k X(j(ω − k ω_s)) (Poisson) — sampling creates periodic copies (impulses) in frequency.” — exam asks to draw X[Ω], Y[Ω], Y(ω) for sampled sinc^2 input. Why connected: lesson 1.3’s use of δ in frequency (e.g. f(ω)·δ(ω−ω0) = f(ω0)·δ(ω−ω0)) and the interpretation of impulses/copies in the frequency domain is essential to correctly form and label the spectral impulses and their amplitudes after sampling and modulation. This is a direct conceptual prerequisite for plotting the sampled spectra.

1.4 0p from connections

Beräkna följande integraler: a) ∫_{-∞}^{∞} x(t - τ) δ(τ) dτ b) ∫_{-∞}^{∞} x(τ) δ(t - τ) dτ c) ∫_{-∞}^{∞} (t^3 + 4) δ(1 - t) dt
Show full question
Beräkna följande integraler: a) ∫_{-∞}^{∞} x(t - τ) δ(τ) dτ b) ∫_{-∞}^{∞} x(τ) δ(t - τ) dτ c) ∫_{-∞}^{∞} (t^3 + 4) δ(1 - t) dt
Solution (notes)
a) ∫_{−∞}^{∞} x(t − τ) δ(τ) dτ = /diracimpulsen finns vid τ = 0/ = x(t − τ)|_{τ=0} = x(t) b) ∫_{−∞}^{∞} x(τ) δ(t − τ) dτ = /δ(t − τ) = δ(τ − t) ⇒ diracimpulsen finns vid τ = t/ = x(τ)|_{τ=t} = x(t) c) ∫_{−∞}^{∞} (t^3 + 4) δ(1 − t) dt = /δ(1 − t) = δ(t − 1) ⇒ diracimpulsen finns vid t = 1/ = (t^3 + 4)|_{t=1} = 1^3 + 4 = 5
Connections (4) est. points: 0
exam_3_q3
2 p
Solution uses h(t)=δ(t)+2 e^{-3t} u(t). The δ-term gives an immediate x(t)-contribution via ∫ x(τ) δ(t-τ)dτ = x(t). Snippet: “h(t) = δ(t) + 2 e^{−3t} u(t). (a) x(t)=4 cos(2t) ⇒ y(t)=4·|H(j2)| cos(2t+arg H(j2)).” Knowing the δ identity yields the direct x(t) term (and lets you write H(ω)=1+2/(3+jω)), which speeds/partly solves subquestion (a) (3 p) — I credit 2/3 of that sub-question's points (rounded to 2).
exam_4_q4
2 p
Impulsresponset innehåller en δ-term: h[n] = δ[n] + (1/3)^n u[n−1]. Convolution y[n] = x[n]*h[n] therefore contains x[n] directly from the δ-term via discrete analog δ[n]*x[n]=x[n]. Snippet: “h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n−1]. (b) Beräkna y[n] för x[n] = u[n+3] − u[n−3].” Knowing the δ-property gives an immediate part of y[n] and simplifies the convolution — worth a useful part of the 6‑point computation (≈2 points).
exam_2_q1
2 p
The derived h3(t) contains a δ(t) impulse: solution gives h3(t) = −δ(t) + 2a e^{−a t} u(t). Snippet: “H3(s)… h3(t) = -δ(t) + 2a·e^{−a t} u(t).” Understanding δ(t) and ∫ x(t)δ(t−τ)dτ = x(τ) is needed to interpret the impulse term and its instantaneous effect in the cascade — this is an important step in deriving/interpreting h3(t), so I assign a modest credit (2/8) for knowing the δ identities.
exam_5_q4
1 p
The exam item works with δ-sequences (outputs expressed with δ[n] terms). Snippet: “utsignalen y[n] = 2 δ[n] − 1.5 δ[n−1]. … a) Rita pol‑nollställdiagrammet … e) Beräkna impulssvar h[n].” Knowing the δ-properties (discrete analogs of the lesson) helps manipulate and recognize impulse terms when solving for H(z) and h[n]; useful but only part of the full solution — assign 1 point.

1.5 0p from connections

Utred/visa om de olika systemen nedan, med insignal x(t) och utsignal y(t), är linjära eller icke-linjära, tidsinvarianta eller tidsvarian ta, kausala eller icke-kausala samt stabi…
Show full question
Utred/visa om de olika systemen nedan, med insignal x(t) och utsignal y(t), är linjära eller icke-linjära, tidsinvarianta eller tidsvarian ta, kausala eller icke-kausala samt stabila eller icke-stabila (och i så fall marginellt stabila eller instabila). (Med stabilitet menas här extern stabilitet, dvs. s.k. insignal-utsignal-stabilitet.) a) y(t) = x(-t) b) y(t) = d/dt x(t - 3) c) y(t) = e^{x(t)} d) y(t) = ∫_{-∞}^{-3t} x(τ) dτ e) y(t) = x(c·t); c > 0 f) dy(t)/dt + y(t) = dx(t)/dt
Solution (notes)
Inledning: Samtliga test nedan gäller för energifria system, dvs. y(t) = y_zs(t). - För test av linjäritet: anta x(t) = a·x1(t) + b·x2(t). Om x(t) = 0 för a = b = 0 och system är linjärt får man y(t) = a·y1(t) + b·y2(t). - För test av tidsinvarians: anta tidsförskjutna insignal x̃(t) = x(t − T) och undersök om motsvarande utsignal ỹ(t) = y(t − T). - För test av kausalitet: undersök om utsignalen beror på framtida värden av insignalen eller ej. - För test av stabilitet: undersök om systemet för varje begränsad insignal ger upphov till en begränsad utsignal. a) y_n(t) = x_n(−t). - Linjärt: ja (superposition hålls). - Tidsinvariant: nej? (Visas: låt x̃(t) = x(t − T) ⇒ ỹ(t) = x̃(−t) = x(−t − T) = y(t + T) ≠ y(t − T)) ⇒ dock i text står Systemet är tidsinvariant (men kontrollera uttryck). [I bilden slutsatser: systemet är linjärt, tidsinvariant, icke-kausalt (beroende på framtida värden för negativa t), stabilt] b) y_n(t) = d/dt x_n(t − 3). - Linjärt: ja (derivata är linjär) - Tidsinvariant: ja - Kausalt: ja (utgång vid t0 beror endast på insignalens värde 3 sekunder innan t0) - Stabilitet: marginalt stabilt (derivatan kan ge dirac-impulser för diskontinuerliga insignaler) c) y_n(t) = e^{x_n(t)}. - Icke-linjärt (ej homogen, superposition håller ej) - Tidsinvariant: ja - Kausal: ja (y(t0) = e^{x(t0)}) - Stabil: ja (för begränsade insignaler blir e^{x(t)} begränsad) d) y_n(t) = ∫_{−∞}^{3t} x_n(τ) dτ. - Linjärt: ja - Tidsinvariant: nej (tidsgränsen 3t bryter invarians) - Kausalt: icke-kausalt (övre integralkurva beror på framtida värden för t>0) - Stabil: marginalt stabilt (exempelvis x(t)=u(t) ger y(t)=3t som växer utan gräns) e) y_n(t) = x_n(c·t). - Linjärt: ja - Tidsinvariant: nej (skalning påverkar tidsinvarians) - Kausal: icke-kausal (beroende på c < 1 eller c > 1 kan ge beroende på framtid eller tidigare) - Stabil: ja (tidskalning bevarar begränsning för begränsade insignaler) f) d y_n(t)/dt + y_n(t) = d x_n(t)/dt. - Linjärt: ja - Tidsinvariant: ja - Kausal/stabil: systemet kan vara antingen kausalt och stabilt eller antikausalt och instabilt beroende på sidoinformation (text noterar att ytterligare information krävs för att bestämma kausalitet och stabilitet).
Connections (5) est. points: 0
exam_2_q2
2 p
Snippet: "H(ω) = e^{j2ω} sinc(ω/π). a) Beräkna y(t) för x(t)=e^{-t} u(t). (7 p) b) Vilken kausalitetsegenskap har systemet? (1 p) c) Vilken (extern) stabilitetsegenskap har systemet? (1 p)." Koppling: lektionens konkreta tester för kausalitet (beroende på h(t) för t<0) och stabilitet (summabilitet/L1 eller integrerbarhet av h) ger direkt svar på del b) och c). Lösningen i tentan hittar h(t) i tidsdomänen och konstaterar icke-kausalitet respektive stabilitet — det är precis vad lektionen lär ut. Därför tilldelas 2 p (motsvarande de två poängen i tentan för b och c).
exam_3_q1
2 p
Snippet: "Givet h(t)=4/(4+t^2). a) Beräkna signalenergin E_y. (7 p) b) Vilken kausalitetsegenskap har systemet? Motivera! (2 p)." Koppling: lektionens kausalitetstest (kontrollera om impulsresponsen är noll för t<0) ger omedelbart svaret för del b). Tentlösningen konstaterar att h(t) ≠ 0 för t<0 ⇒ icke-kausalt. Därför ger lektionen full nytta för den 2‑poängs-frågan om kausalitet.
exam_4_q4
2 p
Snippet: "h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n−1]. a) Bestäm systemets kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap. (2 p)" Koppling: lektionens diskreta tester (kausalitet: undersök h[n] för n<0; stabilitet: summabilitet Σ|h[n]| < ∞) ger ett direkt, kort svar på hela del a). Därför tilldelas 2 p (motsvarande tentans 2 poäng).
exam_2_q1
–
Snippet: "Givet icke-kausalt h1(t)=e^{a t} u_0(-t). Konstruera ett stabilt och kausalt H3 så att kaskad H1 * H3 = h2(t)=e^{a t} u(t). Rita pol-nollst. (8 p)." Koppling: lektionen ger de grundläggande testerna för kausalitet och stabilitet (hur man avgör om en impulsrespons är kausal/icke‑kausal och stabil/instabil). Det hjälper förstå varför en modifiering av poler/nollställen behövs, men konstruktionen av H3 och ritning av pol‑nollställe kräver extra arbete (inverser i Laplacedomän, algebra). Detta är därför en förberedande/prerequisite‑koppling — inga direkta poäng ges.
exam_6_q1
–
Snippet: "Differentialekvation d^2y/dt^2 + 2 dy/dt + y = dx1/dt + x1(t) med initialvillkor; bestäm H(s) (inkl. ROC) och y(t) för t≥0. (8 p)." Koppling: lektionens distinktion kring energifria system (y = y_zs) och tester för kausalitet/stabilitet är relevant för att tolka systemets H(s) och ROC. Men full lösning kräver Laplace‑transformförfarande, hantering av initialvillkor (zero‑input/zero‑state) och partialbråksinversion — alltså en bredare uppgift där lektionens tester endast är en nyttig förberedelse. Därför lämnas poäng obundna (null).

1.6 0p from connections

Ett visst LTI-system har insignal x(t) och tillhörande utsignal y(t) enligt nedan: Bild: x(t) är en rektangulär puls med värde 1 för 0≤t≤1 (från t=0 till t=1). y(t) är triangulär p…
Show full question
Ett visst LTI-system har insignal x(t) och tillhörande utsignal y(t) enligt nedan: Bild: x(t) är en rektangulär puls med värde 1 för 0≤t≤1 (från t=0 till t=1). y(t) är triangulär puls med topp 2 vid t=0.5 och noll vid t=0 och t=1. Uttryck insignalerna x_a(t) och x_b(t) nedan som funktion av x(t) och använd linjäritets- och tidsinvariansegenskaperna hos systemet för att bestämma och rita motsvarande utsignaler y_a(t) respektive y_b(t). Bild x_a(t): signal som är 1 för -1≤t<1, -1 för 1≤t<2 (stegform). Bild x_b(t): signal med tre nivåer: 0 for t<-0.5, 1 for -0.5≤t<0.5, 2 for 0.5≤t<1, 0 afterwards (steglika).
Solution (notes)
Signalerna x_a(t) och x_b(t) kan skrivas som följande linjärkombinationer: { x_a(t) = x_1(t) − x_1(t − 1) x_b(t) = x_1(t + 0.5) + x_1(t) } Systemet är linjärt och tidsinvariant ⇒ { y_a(t) = y_1(t) − y_1(t − 1) y_b(t) = y_1(t + 0.5) + y_1(t) } [Figurer: y_a(t) triangular oscillation between 0 and 2 then negative trough around t≈1.5; y_b(t) symmetric triangular pulse between −0.5 and 1 with peak 2 at t=0]
Connections (6) est. points: 0
exam_4_question id 4
4 p
Direct, strong connection: the exam input is written as a linear combination of shifted unit-steps and the system is LTI, so y[n] is the same linear combination of shifted responses — exactly the same superposition/time-shift principle as lesson 1.6. Snippet: "h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n-1]; x[n] = u[n+3] − u[n−3]". Knowing 1.6 gives the method to write y as y = y1[n+3] − y1[n−3] and thus yields most of the solution (remaining work: evaluate the shifts/convolution sums).
exam_6_question id 4
3 p
Close connection: computing the overall impulse response by convolving two causal LTI impulses uses linearity and time-shifts; lesson 1.6's use of LTI superposition and shifts helps to decompose and compute shifted exponential responses. Snippet: "h1[n]=0.5^{n-1} u[n-1], h2[n]=0.8^{n-1} u[n-1]; compute h = h1 * h2 (time-domain and transform-domain methods)." Knowing 1.6 supplies the key idea of handling shifted/scaled components, covering a significant portion of the steps.
exam_3_question id 3
2 p
Related by linearity/time-invariance: the exam asks for y(t) for inputs that are sums/scaled/time-limited functions and uses convolution with h(t)=δ(t)+2 e^{-3t}u(t). Lesson 1.6's principle (outputs follow same linear combinations and shifts) directly applies to split the problem into simpler parts. Snippet: "h(t)=δ(t)+2 e^{-3t} u(t). Compute y(t) for x(t)=4 cos(2t) and x(t)=e^{2t} u_0(2−t)." Lesson gives the decomposition strategy, but calculations remain.
exam_2_question id 3
3 p
Strong conceptual connection: computing output Fourier-series coefficients via D̂_n = D_n · H(n ω0) relies on LTI linearity (each Fourier component maps independently). Lesson 1.6 emphasizes that LTI preserves linear combinations and shifts — the same principle in frequency domain. Snippet: "Periodic x(t) with D_n fed to Butterworth LP ⇒ compute |Ď_n| = |D_n|·|H(n ω0)|." Knowing 1.6 gives the direct method to map input components to output components.
exam_4_question id 1
2 p
Related: computing output complex FS coefficients for an RC LTI system uses D̂_n = D_n·H(j n ω0) (superposition of harmonics). Lesson 1.6's LTI linearity/time-shift idea underpins this step. Snippet: "x(t) periodic (e^{-t} on [0,1) ), RC with R=C=1 ⇒ compute Ă_n for y(t) via D_n and H(j2π n)." Lesson supplies the mapping idea though extra integration/impedance algebra is required.
exam_6_question id 1
1 p
Weaker connection: solving the differential equation by splitting into zero-state and zero-input responses uses linearity (superposition) — the same general LTI property as in lesson 1.6. Snippet: "d^2y/dt^2 + 2 dy/dt + y = dx/dt + x, with x=3u(t); compute H(s) and y(t) including initial-condition response." Lesson gives the conceptual superposition idea but not the specific algebra for initial-condition work.

1.7 0p from connections

Ett tidskontinuerligt LTI-system med insignal x(t) och utsignal y(t) beskrivs av differentialekvationen (D^2 + 5D + 6) y(t) = (D + 1) x(t) Beräkna systemets fria svängning, dvs. ze…
Show full question
Ett tidskontinuerligt LTI-system med insignal x(t) och utsignal y(t) beskrivs av differentialekvationen (D^2 + 5D + 6) y(t) = (D + 1) x(t) Beräkna systemets fria svängning, dvs. zero-input response y_z i(t), för t ≥ 0 då differentialekvationens initialtillstånd är y(0^-) = 2 och y'(0^-) = -1.
Solution (notes)
(D^2 + 5D + 6) y(t) = (D + 1) x(t) Karakteristisk ekvation: λ^2 + 5λ + 6 = 0 Karaktäristiska rötter: λ_1 = −2 och λ_2 = −3 Allmän lösning y_{zi}(t) = c1 e^{−2t} + c2 e^{−3t} Derivata y'_{zi}(t) = −2 c1 e^{−2t} − 3 c2 e^{−3t} Initialvillkor: y_{zi}(0−) = y(0−) = 2 och y'_{zi}(0−) = −1 Ger: c1 + c2 = 2 −2 c1 − 3 c2 = −1 Lösning: c1 = 5, c2 = −3 Alltså y_{zi}(t) = 5 e^{−2t} − 3 e^{−3t}, t ≥ 0
Connections (5) est. points: 0
exam_5 assignment 1
3 p
Snippet: "(d^2y/dt^2) + 5 (dy/dt) + 6 y(t) = 5 (dx/dt) + 13 x(t). (a) Beräkna systemets utsignal ... (b) Beräkna systemets stegsvar g(t).", Solution: H(s) denominator s^2+5s+6 ⇒ poles at s=-2,-3 and step response g(t)=1/6(13 -4 e^{-3t} -9 e^{-2t}) u(t). Motivation: The lesson solves the homogeneous equation for the operator D^2+5D+6 and determines y_zi(t)=c1 e^{-2t}+c2 e^{-3t} from initial conditions. That directly gives the transient/exponential terms (e^{-2t}, e^{-3t}) used in the exam's partial-fraction/step-response transient. The lesson would provide the core of finding the homogeneous part and coefficients; remaining steps (Laplace for input/particular solution and algebra) are extra.
exam_6 assignment 1
2 p
Snippet: "d^2y/dt^2 + 2 dy/dt + y = dx1/dt + x1(t), x1(t)=3u(t). Initial y(0-)=-1, y'(0-)=0. Bestäm H(s) ... samt y(t) for t≥0." Solution splits y = y_zs + y_zi; y_zi found from homogeneous ODE giving combinations of e^{-t} and t e^{-t}. Motivation: Although coefficients differ, the lesson's method (solve characteristic equation, form homogeneous solution, use initial conditions to determine constants and combine with zero-state) is the same core technique required here. The lesson directly trains the step of finding y_zi(t) and using initial conditions; Laplace/zero-state parts are additional.
exam_3 assignment 4
2 p
Snippet: "y[n] + 0.25 y[n-2] = 2 x[n] + x[n-1], with initial states y[-1]=0.5, y[-2]=-1. (a) Beräkna systemfunktionen H[z]. (b) Beräkna zero-input response y_zi[n]." Solution: derive H(z) and compute homogeneous/zero-input solution via characteristic equation and inverse z-transform. Motivation: This discrete-time exam question is the direct analogue of the continuous-time lesson: form characteristic equation for the homogeneous part, find its general form and determine constants from initial conditions to get y_zi. The lesson provides the corresponding continuous-time skill and technique (characteristic equation → exponentials), which maps 1-to-1 to solving such homogeneous difference equations conceptually.
exam_4 assignment 5
2 p
Snippet: "2 y[n+2] − 3 y[n+1] + y[n] = 4 x[n+2] − 3 x[n+1], y[-1]=0, y[-2]=1. Compute y[n] for x[n]=0.25^n u[n]; indicate zero-input y_zi and zero-state y_zs." Solution: rewrite, take one-sided z-transform, separate Y_zi and Y_zs, invert to obtain y_zi from homogeneous equation and initial conditions. Motivation: Again a discrete-time second-order homogeneous problem with initial conditions. The lesson's worked example of solving the homogeneous ODE and using initial conditions to find coefficients is the same conceptual technique needed to get the zero-input component here (only transform versus differential operator differs).
exam_5 assignment 2
1 p
Snippet: "System A: circuit with R=1, C=0.5 ⇒ h_A(t)=2 e^{-2t} u(t). System B: h_B(t)=u(t-1)-u(t-4). (b) h(t)=h_A * h_B(t) => piecewise expression involving e^{-2(t-1)} etc." Solution obtains convolution giving transient exponentials e^{-2(t-1)}. Motivation: The lesson's homogeneous-solution skill (recognizing and manipulating exponential modes e^{-at}) helps when convolving exponentials with other kernels to obtain transient terms. This is a weaker connection (convolution + time-shifts are additional material), so no full points.