Lesson 2 — Summary

5 assignments · 0 connections · est. points from connections: 0
Conn. density: 0.0/assignment
Avg. pts/assignment: 0.0

2.1 0p from connections

Ett energifritt LTI-system med impulssvar W(t)=e^{-t}u(t) matas med olika insignaler x(t) enligt nedan. Beräkna, för varje insignal, utsignalen y(t). a) x(t)=e^{-2t}u(t) b) x(t)=…
Show full question
Ett energifritt LTI-system med impulssvar W(t)=e^{-t}u(t) matas med olika insignaler x(t) enligt nedan. Beräkna, för varje insignal, utsignalen y(t). a) x(t)=e^{-2t}u(t) b) x(t)=e^{-2(t-3)}u(t) c) x(t)=e^{-2t}u(t-3)
Solution (notes)
a) Systemet är LTI. Signalen x(t)=e^{-2t}u(t). Impulsrespons h(t)=e^{-t}u(t). Beräkna y(t)=x*h = ∫_{-∞}^{∞} x(τ)h(t-τ)dτ. För t<0: h(t-τ) och x(τ) har ingen överlappning ⇒ y(t)=0. För t≥0: y(t)=∫_{0}^{t} e^{-2τ} e^{-(t-τ)} dτ = e^{-t} ∫_{0}^{t} e^{-τ} dτ = e^{-t}(1-e^{-t}) = (e^{-t}-e^{-2t}) u(t). b) x(t)=e^{-2(t-3)} u(t) = e^{6} e^{-2t} u(t). Då y(t)=x*h = e^{6} (e^{-t}-e^{-2t}) u(t). c) x(t)=e^{-2t} u(t-3) = e^{-6} e^{-2(t-3)} u(t-3). Eftersom systemet är tidsinvariant och homogent gäller y(t)=e^{-6} y_a(t-3) där y_a är från a): ⇒ y(t)=e^{-6}(e^{-(t-3)}-e^{-2(t-3)}) u(t-3).
Connections (4) est. points: 0
exam_6_assignment_4
5 p
Mycket nära: uppgift kräver konvolution av två kausala exponentiellt avtagande impulssvar (h1[n] = 0.5^{n-1}u[n-1], h2[n] = 0.8^{n-1}u[n-1]) för att få totalt h[n]. Lesson 2.1 visar exakt samma typ av tidsdomänskonvolution, tidsförskjutningar och hantering av u(t)/u[n]. Kännedom om metoden ger stora delar av lösningen; kvar är viss sum-algebra (geometrisk serie) och indexhantering. Snippet: "Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] ... H1[Ω]=1/(e^{jΩ}-0.5), H2 given by y[n]-0.8y[n-1]=x[n-1] ... lösning: faltning i tidsdomänen ger h[n]= (25/6·0.8^{n} - 20/3·0.5^{n}) u[n-1]"
exam_1_assignment_3_b_ii
2 p
Direkt samband: deluppgift beräknar utsignal y_b(t) genom konvolution i tidsdomänen med impulsrespons h(t)=3 e^{-2t}u(t). Lessonens exempel (konvolution av exponentialer med u(t) och tidsförskjutningar) ger principerna och tekniken för att utföra denna tidsdomänsintegral. För denna delfråga återstår endast mindre algebra/transformval. Snippet: "Ett tidskontinuerligt energifritt LTI-system har impuls­svar h(t) = 3 e^{−2t} u(t). ... b) Bestäm systemets utsignal y_b(t) då spektrumet till dess insignal x_b(t) är X_b(ω)=2/(3−jω. ... ii) Genom beräkningar i tidsdomänen. (3 p)"
exam_5_assignment_2_b
3 p
Starkt samband: uppgift beräknar impulssvaret h(t) för en kaskad där h_A(t) är en exponential (eller liknande) och h_B(t) = u(t−1)−u(t−4) (rektangulär pulsåtgärd). Lesson 2.1 behandlar konvolution mellan exponentiell och enhetssteg/-förskjutning samt hur skifttal påverkar resultatet — direkt användbart för att härleda styckvis uttryck för h(t). Någon extra hantering krävs för gränser och styckindelning. Snippet: "System A: beräkna h_A(t) ... System B h_B(t)=u(t−1)−u(t−4). b) Beräkna impulssvaret h(t) för det totala kaskadkopplade systemet."
exam_2_assignment_2_a
4 p
God koppling: uppgiften kräver att man beräknar y(t) för x(t)=e^{−t}u(t) när systemets frekvensfunktion motsvarar ett tidsdomäns-impulsrespons bestående av tidsförskjutna enhetssteg (h(t) är tidsbegränsat, skrivet med u(t+3)-u(t+1) i lösningen). Lesson 2.1:s behandlig av konvolution med exponentiella faktorer och tidsskiftningar är direkt användbar för styckvis konvolutionsuträkning som krävs här. Snippet: "H(ω)=e^{j2ω} sinc(ω/π). a) Beräkna systemets utsignal y(t) då dess insignal är x(t)=e^{-t}u(t). (7 p)"

2.2 0p from connections

Ett första ordningens allpassfilter har impulssvaret h(t) = -δ(t) + 2e^{-t}u(t). a) Beräkna utsignalens zero-state-komponent y_{zs}(t) då insignalen är x(t)=e^{t}u(t). b) Rita in…
Show full question
Ett första ordningens allpassfilter har impulssvaret h(t) = -δ(t) + 2e^{-t}u(t). a) Beräkna utsignalens zero-state-komponent y_{zs}(t) då insignalen är x(t)=e^{t}u(t). b) Rita insignalen x(t) och motsvarande utsignal y_{zs}(t).
Solution (notes)
a) h(t) = -δ(t) + 2e^{-t} u(t) = -δ(t) +  h̃(t) där h̃(t)=2e^{-t} u(t). Dela upp y(t)=x*h = x*(-δ) + x*h̃ = -x(t) + ỹ(t). Med δ-definition blir x*(-δ)= -x(t). Beräkning av ỹ(t)=∫_{-∞}^{∞} x(t-τ) h̃(τ) dτ. Antag x(t)=e^{t} u(-t) (speglad exponentiell) enligt figurerna. För t<0: ỹ(t)=∫_{0}^{∞} e^{t+τ}·2 e^{-τ} dτ = 2 e^{t} ∫_{0}^{∞} dτ = förenklad i bladet → ỹ(t)= -e^{t}? (framgår av uträkningen) slutligen y_s(t)= -x(t) + ỹ(t) = -e^{t} u(-t) + e^{t} u(t) + e^{-t} u(t) = e^{-t} u(t) (enligt bladets förenkling).
Connections (3) est. points: 0
exam_2 - 1
8 p
Identisk fråga: i tentans uppgift ska man bestämma h3(t) så att kaskadkopplingen H1 (h1(t)=e^{a t} u_0(-t)) och H3 ger H2 med h2(t)=e^{a t} u(t). Lösningen visar h3(t) = -δ(t) + 2a e^{-a t} u(t). För a=1 detta är exakt h(t) = -δ(t) + 2 e^{-t} u(t) som i lektionen — alltså identiskt.
exam_1 - 3 (part b, ii)
3 p
Deluppgift (3 p) i tentan kräver beräkning i tidsdomänen av y_b(t) där h(t)=3 e^{-2t} u(t) och insignalens spektrum ger i tidsdomänen ett uttryck med både e^{3t} u(-t) och e^{-2t} u(t). Lektionens metod (dela upp med δ-komponent och beräkna konvolution styckvis, hantera anti-kausala/exponentiella termer och integreringsgränser) är direkt användbar för att utföra just denna tidsdomäns‑konvolution.
exam_3 - 3 (part b)
2 p
Uppgiftens h(t)=δ(t)+2 e^{-3t} u(t) och insignal x(t)=e^{2t} u_0(2−t) kräver att man delar upp konvolutionen (δ‑delen plus exponentialdelen) och hanterar styckvisa integrationsgränser för en anti/partiellt icke‑kausal insignal. Lektion 2.2 visar precis dessa tekniker — det täcker en betydande del av lösningen (men inte alla algebraiska faktorer), därför ges delpoäng.

2.3 0p from connections

Ett visst energifritt LTI-system har impulssvaret h(t) enligt grafen nedan (h(t) är en sinusformad kurva mellan t=0 och t=2π med amplitud +1 och -1, nollvärde vid t=0 och t=2π). Be…
Show full question
Ett visst energifritt LTI-system har impulssvaret h(t) enligt grafen nedan (h(t) är en sinusformad kurva mellan t=0 och t=2π med amplitud +1 och -1, nollvärde vid t=0 och t=2π). Beräkna och skissera systemets utsignal y(t) för de två olika insignalerna x_1(t) och x_2(t). a) x_1(t)=u(t) (enhetsteg) (kvarstående till oändligheten) b) x_2(t) = en pulslik signal som är 1 på intervallet [0,2π] och 0 annars (rektangulär puls mellan 0 och 2π).
Solution (notes)
Exempel med h(t)=sin(t)(u(t)-u(t-2π)). Dela x(t)=x_a(t)+x_b(t) med x_a(t)=u(t) och x_b(t)=u(t)-u(t-2π) eller liknande. Betrakta y_a(t)=x_a*h och y_b(t)=x_b*h. För y_a: för t<0 → y_a(t)=0. För 0≤t≤2π: y_a(t)=∫_{0}^{t} 1·sin(τ) dτ = 1 - cos(t). För t>2π: y_a(t)=0 (efter full omslagning) enligt bladet → y_a(t)=(1-cos t)(u(t)-u(t-2π)). För y_b: bredare tidsintervall där x_b(t-τ)≠0 och man får y_b(t) = (cos t - 1) i intervallet 2π≤t≤4π och noll utanför. Sammanställning: y_b(t) = {1-cos t, 0≤t≤2π; cos t -1, 2π<t≤4π; 0 annars}. Slutligen y(t)=y_a(t)+y_b(t) vilket kan förenklas som i bladet.
Connections (4) est. points: 0
exam_5 : assignment 2(b)
5 p
Very strong: exam asks for h(t) of cascade where h_A(t) (exponential) is convolved with h_B(t)=u(t−1)−u(t−4) (a finite-duration rectangular pulse). Lesson 2.3 shows exactly how to convolve a finite-duration pulse (u(t)−u(t−T)) with an impulse response by splitting signals into step/shifted-step pieces and computing piecewise integrals over time intervals (example produced piecewise y(t) on [0,2π],[2π,4π]). Relevant snippet: “Beräkna impulssvaret h(t) för det totala kaskadkopplade systemet. … h_B(t)=u(t−1)−u(t−4).” Solution snippet: “h(t)=h_A * h_B; konvolution beräknas styckvis: för t<1 h=0; för 1≤t<4 h(t)=1−e^{-2(t−1)}; för t≥4 annan form …” — the lesson technique directly yields the piecewise integrals used here.
exam_3 : assignment 3(b)
4 p
Strong: this subproblem computes y(t) = (t e^{-3t} u(t)) * x(t) where x(t)=e^{2t} u_0(2−t) has finite support; solution is obtained by time-domain convolution with piecewise evaluation for t<2 and t≥2. Lesson 2.3 demonstrates splitting signals using unit steps and integrating over the active overlap intervals to obtain piecewise expressions (exactly the method needed). Relevant snippet: question: “x(t)=e^{2t} u_0(2−t) … compute y(t)”; solution: “konvolution ger styckvis y(t): ... for t<2 ... for t≥2 ...” — knowing the lesson yields the main convolution work; remaining algebra/transform manipulations account for the remainder of the points.
exam_6 : assignment 4(a)
3 p
Good connection: the task asks for the total discrete-time impulse response h[n] of a cascade by computing the time-domain convolution h = h1 * h2 (explicitly requested as part (a)). Lesson 2.3 teaches how to split signals into shifted step/pulse components and compute overlap integrals (continuous analogue) to get piecewise/time-indexed results; the same convolution-overlap reasoning applies to the discrete summation used here. Relevant snippet: question: “Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] genom beräkningar i tidsdomänen.” Solution: “h[n] = Σ_{m} h1[n−m] h2[m]; förenklas till closed-form expression …” — the lesson directly helps perform the time-domain convolution step, though additional algebra (geometric sums, ROC) is also needed.
exam_4 : assignment 4(b)
4 p
Relevant: this discrete problem computes y[n] = (x * h)[n] where h[n] contains a causal component and x[n]=u[n+3]−u[n−3] has finite support. Lesson 2.3's approach—express signals as sums/differences of shifted unit steps/pulses and evaluate convolution on the intervals where they overlap—maps directly to the method used to find y[n] piecewise. Relevant snippet: question: “h[n]=δ[n]+(1/3)^n u[n−1]; compute y[n] for x[n]=u[n+3]−u[n−3].” Solution: “Yields piecewise y[n]: for n<−3:0; for 0≤n≤5: g[n]=n+1; for n≥6: g[n]=6 …” — lesson gives the core technique for the convolution / interval analysis; extra z-transform bookkeeping is separate.

2.4 0p from connections

Tre olika LTI-system har impulssvar h(t) enligt nedan. Bestäm systemens respektive kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap. a) h(t)=u(t+2)-u(t-2) b) h(t)=u(t) c) h(t)=\sum_{…
Show full question
Tre olika LTI-system har impulssvar h(t) enligt nedan. Bestäm systemens respektive kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap. a) h(t)=u(t+2)-u(t-2) b) h(t)=u(t) c) h(t)=\sum_{k=0}^{\infty} 0.5^{k} \delta(t-k)
Solution (notes)
a) h(t)=u(t+2)-u(t-2) (rektangel från -2 till 2). - h(t)≠0 för -2≤t≤2 ⇒ systemet är icke-kausalt (finns stöd för t<0). - ∫|h(t)| dt = ∫_{-2}^{2} 1 dt = 4 < ∞ ⇒ systemet är stabilt. b) h(t)=u(t). - h(t)=0 för t<0 ⇒ systemet är kausalt. - ∫_{-∞}^{∞} h(t) dt = ∫_{0}^{∞} 1 dt = ∞ ⇒ ej absolutstabilt; men h(t)<∞ ∀t → marginalt stabilt (marginalt stabilt system). c) h(t)=Σ_{k=0}^{∞} 0.5^{k} δ(t-k). - h(t)=0 för t<0 ⇒ kausalt. - ∫ h(t) dt = Σ_{k=0}^{∞} 0.5^{k} = 1/(1-0.5)=2 < ∞ ⇒ systemet stabilt.
Connections (4) est. points: 0
exam_2 - assignment 2
2 p
Snippet (question): H(ω)=e^{j2ω} sinc(ω). b) Which causality? c) Which (external) stability? (parts worth 1 p each) Snippet (solution): h(t)=1/2 (u(t+3) − u(t+1)) ⇒ h(t)≠0 for t<0 ⇒ non‑causal; ∫|h(t)| dt = 1 < ∞ ⇒ externally stable. Why connected: The lesson (2.4) gives the exact method used here — determine causality from support of h(t) and (in)finite integral for (external) stability. Knowing 2.4 directly answers parts b and c (2 points).
exam_4 - assignment 4
2 p
Snippet (question): h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n−1]. a) Determine system's causality and stability. (2 p) Snippet (solution): ∑|h[n]| = ∑_{n=0}^∞ (1/3)^n = 3/2 < ∞ ⇒ summable (stable). h[n]=0 for n<0 ⇒ causal. Why connected: Lesson 2.4(c) treats a causal impulse train and shows checking causality (support) and stability (absolute-sum). The same criteria and quick checks apply here, so knowing 2.4 directly yields the full answer to part a (2 points).
exam_3 - assignment 1
2 p
Snippet (question): h(t)=4/(4+t^2). b) Which causality property has the system? (2 p) Snippet (solution): h(t)≠0 for all t ⇒ h(t) nonzero for t<0 ⇒ system is non‑causal. Why connected: Lesson 2.4(a–c) demonstrates checking causality by inspecting support of h(t). That same simple observation gives the full answer to this subquestion (2 points).
exam_5 - assignment 4
1 p
Snippet (question): For an LTI system given input/outputs (x[n]=(0.5^n+1)u[n] → y[n]=2δ[n]−1.5δ[n−1]) b) Which causality property has the system? (1 p) Snippet (solution): Analysis of H(z) and region of convergence → conclusion on causality (uses whether ROC includes |z|>something implying causality). Why connected: Lesson 2.4(c) presents a discrete causal h[n] example and explains the causal/stability tests (support and ROC/summability). That knowledge directly helps determine the short causality statement in part b (≈1 point).

2.5 0p from connections

FOURIERSERIEANALYS a) Beräkna den komplexa (exponentiella) fourierserien för den periodiska signalen x(t) nedan. Signalens period är 1 (eller periodisk med puls där x(t)=e^{-t} fö…
Show full question
FOURIERSERIEANALYS a) Beräkna den komplexa (exponentiella) fourierserien för den periodiska signalen x(t) nedan. Signalens period är 1 (eller periodisk med puls där x(t)=e^{-t} för 0\le t<1 och x(t+1)=x(t) för alla t). (Diagram: avtagande exponent på intervallet 0–1, repeterande) b) Signalen x(t) ovan är insignal/insprängning till den elektriska kretsen nedan. Denna krets utgör ett LTI-system, där spänningen y(t) över resistansen definieras som systemets utsignal. Beräkna y(t). (Krets: kondensator C=1 F i serie till avtagande sida, och motstånd R=1 \Omega parallellt med utsignal över resistorn).
Solution (notes)
a) Periodisk signal x(t) med x(t)={e^{-t}, 0≤t<1}, period T0=1. Sök Fourierserie x(t)=Σ D_n e^{j n ω0 t}, ω0=2π/T0=2π. D_n = 1/T0 ∫_{0}^{T0} x(t) e^{-j n ω0 t} dt = ∫_{0}^{1} e^{-t} e^{-j 2π n t} dt = [ -e^{-(1+j2π n)t}/(1+j2π n) ]_0^1 = (1 - e^{-1})/(1 + j 2π n) ? (bladet visar förenklad form) Slutresultat: D_n = (1 - e^{-1})/(1 + j 2π n) (enligt utledning i bladet). b) RC-krets med C=1F, R=1Ω i högerkrets. Frekvenssvar H(ω)=Y/X = (-jω RC)/(1 - jω RC) = jω/(1 + jω) (enligt bladet). Systemet är LTI och stabilt (passivt RC-nät är stabilt). För insignalens Fourierserier fås y(t)=Σ D_n H(n ω0) e^{j n ω0 t} där D_n är från a).
Connections (5) est. points: 0
exam_4_q1
8 p
IDENTICAL problem. Snippet: "Den periodiska signalen x(t) = { e^{-t}, 0 ≤ t < 1 }, period T0=1. C=1F, R=1Ω. Beräkna de komplexa fourierseriekoefficienterna Ă_n till utsignalen y(t)." Solution uses D_n = (1 - e^{-1})/(1 + j2π n) and H(jω)=jω/(1 + jω) with y(t)=Σ D_n H(nω0) e^{j n ω0 t} — same derivation as lesson 2.5.
exam_2_q3
4 p
Strongly related: same method of obtaining output FS coefficients via multiplication by system frequency response. Snippet: "Periodisk insignal x(t) ... Beräkna utsignalens dubbelsidiga amplitudspektrum |Ď_n|. Solution: D̂_n = D_n · H(n ω0) with ω0=2π/T0 and D_n from pulse shape; then compute |Ď_n|." Lesson 2.5 provides the D_n→Ď_n procedure and evaluating H(nω0).
exam_1_q3a
3 p
Direct application of the lesson's frequency-domain FS-multiplication step. Snippet: "(a) Bestäm den komplexa fourierserien till systemets utsignal då dess insignal är den periodiska signalen x_a(t)=Σ D_n e^{j5π n t}. (3 p)" Solution: Ď_n = D_n · H(j ω_n). Lesson shows exactly this operation (compute H at harmonic frequencies and multiply).
exam_3_q3a
2 p
Conceptual prerequisite: using H(jω) to scale sinusoidal components. Snippet: "(a) x(t)=4 cos(2t). Beräkna y(t). (3 p)" Solution computes H(j2) and gives y(t)=4|H(j2)| cos(2t+arg H(j2)). Lesson part (b) explains applying H(nω0) to Fourier components, which is the same principle for single-tone inputs.
exam_5_q3
3 p
Related: computing output FS coefficients for a periodic input and given h(t). Snippet: "Ett LTI-system med h(t)=t e^{-3t} och periodisk x(t). Beräkna de komplexa fourierseriekoefficienterna D_n till den periodiska utsignalen y(t). (8 p)" Lesson gives the template D̂_n = D_n·H(nω0) and shows how to get D_n for a pulse-shaped periodic signal and evaluate H at harmonics; here additional transform work is needed, so partial credit assigned.