Lesson 3 — Summary

Signalen x(t) i uppgift 2.5 är även insignall till ett LTI-system med frekvensfunktion H(ω) enligt grafen nedan. (Graf: H(ω)=1 för |ω| mellan 5 och 10 rad/s, annars 0.) Beräkna systemets utsignal y(t).

To-periodisk insignal till ett LTI-system (uppebarligen ett stabilt sådant, eftersom H(ω) existerar) med frekvensfunktion H(ω) ⇒ utsignalen y(t) är också To-periodisk, y(t)=∑_{n=-∞}^{∞} D̂_n e^{jnω0 t}, där ω0 = 2π/T0 och D̂_n = D_n · H(nω0), där vi erhåller D_n = (1−e^{-1})/(1 + j2πn) från lösningen av uppgift 2.5. Grafen för H(ω) visar att systemet släpper igenom alla frekvenssignaler i intervallet 5<ω<10 rad/s, dvs. endast grundtonen x1(t)=C1·cos(ω0 t + Θ1) med grundvinkelfrekvens ω0 = 2π/T0 = 2π/1 = 2π rad/s (från uppg. 2.5) i detta fall. ⇒ y(t)=y1(t)= Ĉ1 · cos(ω0 t + Θ̂1), där Ĉ1 = C1·|H(ω0)| = 2|D1| (ty H(ω0)=H(2π)=1) Θ̂1 = Θ1 + arg H(ω0) = arg D1. och D1 = (1−e^{-1})/(1 + j2π) = (1−e^{-1})/√{1 + (2π)^2} · e^{-j arctan(2π)} = |D1| e^{-j arctan(2π)}. ⇒ y(t) = 2(1−e^{-1})/√{1+4π^2} · cos(2π t − arctan(2π)).

Den periodiska signalen x(t) nedan är insignall till ett LTI-system med frekvensfunktion H(ω)= jω/(1+jω). (Graf: triangulär periodisk signal med amplitud 4, period 4 s, noll i t=0, ±2, ±4, ±6, … och spetsar vid ±1, ±3, …) Beräkna systemets utsignal y(t) uttryckt som en fourierserie på exponentialform (dvs. beräkna utsignalens komplexa fourierserie).

To-periodisk insignal x(t)=∑ D_n e^{jnω0 t} (ω0 = 2π/T0) till ett LTI-system med frekvensfunktion H(ω) ⇒ To-periodisk utsignal y(t)=∑ D̂_n e^{jnω0 t}, där D̂_n = D_n · H(nω0). D_n = (1/T0) ∫_{T0} x(t) e^{-jnω0 t} dt. Välj lämpligt S-intervall av längd T0, t.ex. 0→4 sek. Graf ⇒ T0=4 sek => ω0 = 2π/T0 = π/2 rad/s. Beräkning via partiell integration kan göras men här används derivering: D_n = D_n^{(x)}/(j n ω0), där D_n^{(x)} är Fourierseriekonstants för x'(t). Figuren visar x'(t) med pulser/dirac-impulser i derivatan. Genom att derivera två gånger (2 ggr) får man dirac: D_n^{(x'')} = (1/T0) ∫ x''(t) e^{-jnπ t/2} dt = ... leder till D_n = 4(((-1)^n − 1)/(n^2 π^2)) = {0, n jämna; −8/(n^2 π^2), n udda}. D_0 = (1/T0) ∫_{T0} x(t) dt = 2 (medelvärdet). H(nω0)=H(nπ/2)= − j nπ/(2) / (1 + j nπ/2) = j nπ /(2 + j nπ) (?) (här ges uttryck i anteckning). ⇒ y(t)=∑ D̂_n e^{jnπ t/2}, där D̂_n = D_n H(nω0) = {0, n jämna; −j8/(nπ(2 + j nπ)) i udda n} (se detaljer i lösning).

Ett energifritt stabilt LTI-system har frekvensfunktionen H(ω)=1/(1+jω). Beräkna utsignalen y(t) för de olika insignalerna x(t)=x_a(t), x_b(t), x_c(t) och x_d(t) nedan. Beteckna utsignalerna y_a(t), y_b(t), y_c(t) respektive y_d(t). a) x_a(t)=e^{-2t}u(t) b) x_b(t)=e^{-t}u(t) c) x_c(t)=e^{t}u_0(-t) d) x_d(t)=u(t) (Här u(t) är enhetsstegfunktionen.)

Energifritt LTI-system (y_{zs}(t)=0) ⇒ y(t)=y_{zs}(t) = (x*h)(t). Utsignalen kan beräknas genom filtning men här används snarare transform: y_{as}(t)=F^{-1}{Y_{as}(ω)}, där Y_{as}(ω) = X(ω) · H(ω) och H(ω)=1/(1 + jω). a) x_a(t)=e^{-2t} u(t). Tabell: X_a(ω) = 1/(2 + jω). ⇒ Y_a(ω)=X_a(ω)·H(ω)=1/(2 + jω) · 1/(1 + jω). Partiellbråksuppdelning ⇒ Y_a(ω)= −1/(2 + jω) + 1/(1 + jω) ⇒ y_a(t)=(e^{-t} − e^{-2t}) u(t). b) x_b(t)=e^{-t} u(t). X_b(ω)=1/(1 + jω). ⇒ Y_b(ω)=X_b(ω)·H(ω)=1/(1 + jω)^2 ⇒ y_b(t)=t·e^{-t} u(t). c) x_c(t)=e^{t} u(-t). Tabell: X_c(ω)=1/(−1 + jω). ⇒ Y_c(ω)=X_c(ω)·H(ω)= (−1/(jω+1))·(1/(jω−2)) → partialbråksuppdelning ⇒ y_c(t)=1/2 (e^{t} u(t) + e^{−t} u(−t)) = 1/2 e^{−|t|}. d) x_d(t)=u(t). Tabell: X_d(ω)=PV{1/(jω)} + π δ(ω). ⇒ Y_d(ω)=X_d(ω)·H(ω) = PV{1/(jω)}·1/(1 + jω) + π·1/(1 + j0)·δ(ω). Hantering av PV leder till y_d(t)=u(t) − e^{−t} u(t) = (1 − e^{−t}) u(t). Not: Den här uppgiften löses lika gärna (eller hellre) med Laplacetransformen. Fouriertransformen användes för att visa att den kan användas när både X(ω) och H(ω) existerar (vilket de gör här).

Ett visst energifritt stabilt LTI-system har frekvensfunktionen H(ω)= -1/(jω-2). a) Vilken kasusalitetsegenskap har systemet? b) Beräkna systemets utsignal för följande insignaler: i) x(t)=e^{-2t}u(t) ii) x(t)=e^{2t}u(-t).

a) H(ω) = −1/(jω − 2) = 1/(2 − jω). Den enda möjliga Fouriertransformen i denna form finns i formelsamlingens Tab. 3:6 ⇒ h(t)=e^{2t} u(−t). Så h(t) ≠ 0 för t≤0 ⇒ systemet är icke-kausalt. Det är även så att h(t)=0 för t≥0 ⇒ det icke-kausala systemet är anti-kausalt. b) Energifritt LTI-system ⇒ y_{zs}(t)=0 ⇒ y(t)=y_{as}(t) = F^{-1}{X(ω)·H(ω)}. (i) x(t)=e^{-t} u(t). Tabell: X(ω)=1/(1 + jω). ⇒ Y(ω)=1/(1 + jω)·1/(2 − jω) = ... partiellbråksuppdelning ⇒ y(t)=1/3 (e^{−t} u(t) + e^{2t} u(−t)). (ii) x(t)=e^{t} u(−t). Tabell: X(ω)=−1/(1 − jω). ⇒ Y(ω)=1/(jω − 1)(jω − 2) => partiellbråksuppdelning ⇒ y(t) = (e^{t} − e^{2t}) u(−t). (Detaljer och partiellbråksuppdelningar finns i anteckningarna.)

I det sammankopplade systemet nedan är x_1(t)=10^4·rect(10^4 t) insignall till delsystem H_1 med frekvensfunktion H_1(ω)=rect(ω/(40·000π)). och x_2(t)=δ(t) är insignall till delsystem H_2 med frekvensfunktion H_2(ω)=rect(ω/(20·000π)). (Blockdiagram visar H1 och H2 i parallell, deras utsignaler y1(t) och y2(t) multipliceras (ganges) -> y(t)). a) Skissa x_1(t) och X_1(ω) b) Skissa H_1(ω) och H_2(ω) c) Skissa y_1(t) och y_2(t) d) Bestäm bandbredden för y_1(t), y_2(t) och y(t).

Allmänt samband från formelsamlingens Tab. 3:12: F{rect(t/τ)} = τ · sinc(ω τ/2). a) x1(t)=10^4 · rect(10^4 t) ⇒ τ = 10^{−4} ⇒ X1(ω) = sinc_N(ω τ/2) med huvudlob vid ω0 = 2·10^4 π rad/s. Figuren visar spektrum med huvudlob centrerad. x2(t)=δ(t) ⇒ X2(ω)=1. b) H1(ω)=rect(ω/(40 000 π)) och H2(ω)=rect(ω/(20 000 π)). Grafiska rektanglar: H1 har band från −2·10^4 π till 2·10^4 π; H2 från −10^4 π till 10^4 π. c) Multiplikation X(ω)·H(ω): Y1(ω)=X1(ω)·H1(ω) = X1(ω) för |ω| < 2·10^4 π, annars 0. (diagram) Y2(ω)=X2(ω)·H2(ω) = H2(ω). d) Signalens bandbredd är lika med bredden av det frekvensintervall där signalen har ett icke-nollställt spektrum. Bandbredden för y1(t) är 2·10^4 π rad/s (motsvarar 10 kHz). Bandbredden för y2(t) är 10^4 π rad/s (motsvarar 5 kHz). y(t)=y1(t)*y2(t) ⇒ Y(ω)=1/(2π) (Y1·Y2)(ω). Allmänt samband: vid filtningen f(t)=f1*f2 blir utbredningen av F lika stor som summan av de två funktionernas utbredning (bandbredder). ⇒ Bandbredden för y(t) är 20π + 10π = 30π krad/s (10+5 = 15 kHz).

Signalen x(t)=2a/(t^2 + a^2) är inte bandbegränsad, dvs. den har en oändlig bandbredd (lim_{ω→∞} X(ω)=0). För sådana signaler är det dock ofta praktiskt att definiera en "väsentlig" (eng. "essential") bandbredd, som indikerar att den väsentliga signalenergin ligger inom ett visst frekvensområde. Här definierar vi den väsentliga bandbredden B Hz för x(t) så att 99% av dess signalenergi ligger i frekvensområdet f ≤ B Hz. Bestäm denna väsentliga bandbredd B.

Enligt uppgift ligger 99% av energin hos signalen inom dess väsentliga bandbredd B Hz, vilket motsvarar W = 2π B rad/s. Det innebär att E_W / E_X = 99%, där E_X = ∫_{−∞}^{∞} |x(t)|^2 dt = (1/2π) ∫_{−∞}^{∞} |X(ω)|^2 dω (Parsevals) och E_W = (1/2π) ∫_{−W}^{W} |X(ω)|^2 dω. Formelsamling Tab. 3:16 ⇒ X(ω) = 2a · π/(a^2 + ω^2) · e^{−a|ω|}? (i anteckningen används X(ω)=2a·π·e^{−aω} för ω≥0 och symmetri). Symmetri ⇒ E_X = 2 · (1/2π) ∫_0^{∞} (2π a · e^{−a ω})^2 dω = 4π ∫_0^{∞} e^{−2a ω} dω = 2π/a. E_W = 2 · (1/2π) ∫_0^{W} (2π a e^{−a ω})^2 dω = −2π/a [e^{−2a W} − 1] = 2π (1 − e^{−2a W})/a. ⇒ E_W / E_X = (2π (1 − e^{−2a W})/a) / (2π/a) = 1 − e^{−2a W} = 0.99. ⇒ −2 a W = ln(10^{−2}) = −2 ln(10) ⇒ W = ln(10)/(a) ⇒ B = ln(10)/(2π a) ≈ 0.37 / a Hz.