Lesson 4 — Summary

7 assignments · 0 connections · est. points from connections: 0
Conn. density: 0.0/assignment
Avg. pts/assignment: 0.0

4.1 0p from connections

Den sinusformade bärvågssignalen c(t) = cos(10t) amplitudmoduleras av en signal x(t), vilket resulterar i den modulerade signalen s(t) = x(t)·c(t). Graferna nedan visar tre olika s…
Show full question
Den sinusformade bärvågssignalen c(t) = cos(10t) amplitudmoduleras av en signal x(t), vilket resulterar i den modulerade signalen s(t) = x(t)·c(t). Graferna nedan visar tre olika signaler x(t), dvs. xa(t), xb(t) respektive xc(t). a) (Figur) xa(t) = Δ(t/2π) triangelform med topp 1 vid t=0 och stöd på [-π, π]. b) (Figur) xb(t) = xa(t-2π) (triangel förskjuten så den har stöd mellan π och 3π med topp vid 2π och amplitude 1). c) (Figur) xc(t) = rect((t-2π)/2π) (rektangelfunktion med värde 1 mellan π och 3π). Uppgifter: - Skissera, för varje x(t), motsvarande amplitudmodulerade signal sa(t), sb(t) respektive sc(t). - Skissera amplitudspektrumet |X(ω)| för x(t) och amplitudspektrumet |S(ω)| för s(t), för var och en av de tre signalerna s(t).
Solution (notes)
4.1 s(t)=x(t)·c(t). Graferna visar att alla x(t) har en tidsutbredning på 2π sekunder. cos(10t) har vinkel/ frekvensen 10 = 2π/T0 rad/s ⇒ periodtiden är T0 = 2π/10 sek. ⇒ den har 10 perioder under 2π sek. Detta är inte "jätteviktigt" här, men ger bra känsla för hur x(t) ser ut i de tre fallen. a) Sa(t)=Xa(t)·c(t) x_a(t)=Δ(t/2π). Formelsamling: Tab.3:14 (L=2π) ⇒ X_a(ω)=2π/2·sinc_N^2(ω·2π/4π) = π·sinc_N^2(ω/2). |X_a(ω)|=X_a(ω). Sa(t)=X_a(t)·c(t) ⇒ Sa(ω)=1/2π (X_a⋆C)(ω) där C(ω)=π(δ(ω+10)+δ(ω-10)). ⇒ S_a(ω)=π/2π (X_a(ω)⋆δ(ω+10)+X_a(ω)⋆δ(ω-10)) = 1/2 (X_a(ω+10)+X_a(ω-10)). Alternativ beräkning: s_a(t)=x_a(t)·cos(10t) = x_a(t)·(e^{j10t}+e^{-j10t})/2 ⇒ S_a(ω)=1/2( X_a(ω+10)+X_a(ω-10) ). b) s_b(t)=x_b(t)·cos(10t) där x_b(t)=x_a(t-2π). x_b(ω)=X_a(ω)·e^{-jω2π} ⇒ |X_b(ω)|=|X_a(ω)| ⇒ graf: se a). c) s_c(t)=x_c(t)·cos(10t) där x_c(t)=rect((t-2π)/2π)·cos(10t-2π). Använder ett liknande resonemang som i b): s_c(t)= ilde{x}(t-2π) där ilde{x}(t)=rect(t/2π)·cos(10t)= ilde{x}(t)=X̃(t)·cos(10t) := X̃(t). ⇒ S_c(ω)=X̃(ω)·e^{jω2π} ⇒ |S_c(ω)|=|X̃(ω)| där X̃(ω)=1/2( X(ω+10)+X(ω-10) ). Formelsamlingens Tab.3:14 med L=2π ⇒ X(ω)=2π·sinc_N(ω). ⇒ |S_c(ω)| = |X̃(ω)| och grafen visar två sidoområden kring ±10.
Connections (4) est. points: 0
exam_1 - assignment 6
2 p
Stark konceptuell koppling: uppgiftens kedja innehåller likformig sampling följt av multiplikation med (−1)^n och sedan rekonstruktion via PAM. Multiplikation med (−1)^n i tidsdomänen motsvarar modulation/frekvensskift (för diskret tid: förskjutning i Ω med π) — samma moduleringsegenskap som i lektionen där s(t)=x(t)·cos(10t) ger S(ω)=1/2[X(ω+10)+X(ω−10)]. Kännedom om hur multiplikation med en sinus/cos påverkar spektret gör det direkt möjligt att rita de förskjutna kopiorna och förstå aliasing efter sampling. Relevant snippet (kondenserat): "Betrakta kaskadkopplade system: likformig sampling av x(t) följt av multiplikation av den samplade signalen x[n] med (−1)^n, samt ideal rekonstruktion genom PAM. Samplingsfrekvens f_s = 8 kHz. Insignalen x(t) är en sinc^2-funktion med spektrum triangel bandbegränsat ±4 kHz. a) Rita frekvens­spektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω)."
exam_2 - assignment 4
3 p
Direkt relevant: här används Δ(t/·)-signaler, likformig sampling och diskreta LTI-system med impulsrespons byggd av sinc-funktioner. Lektion 4.1 visar hur en tidskomprimerad/dilatert delta-kammare och modulation med cos påverkar spektrat (uttryck för X(ω) för Δ(t/2π), och S(ω)=½[X(ω+10)+X(ω−10)] vid modulering). Den delen av tentan som kräver att rita |Y(Ω)| efter sampling och diskret filtrering utnyttjar exakt samma transformpar och principer (skalning/kompensation av Δ, kopior i frekvens vid sampling, produkt med H[Ω]). Kunskap från lektionen löser stora delar av uppgiftens spektrala ritande. Relevant snippet (kondenserat): "x(t) = Δ(t/2) samplas idealt med f_s = 2 Hz → x[n]; x[n] är insignal till ett diskret energifritt LTI-system med impulsresp h[n] = 1/2 sinc_N(n/2). Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|."
exam_6 - assignment 6
2 p
Tydlig koppling: uppgiften innehåller multiplikation med (−1)^n före och efter ett idealt lågpass. Lektionen behandlar kontinuerlig modulering med cos(t) och hur detta skapar två sidokomponenter i frekvens (frekvensförskjutning). Samma resonemang (multiplikation ↔ spektral förskjutning/konjugatkopior) används i diskret tid för att bestämma det totala H[Ω]. Att förstå modulationsegenskapen förenklar direkt beräkning/ritning av det totala frekvenssvaret. Relevant snippet (kondenserat): "Det tidsdiskreta systemet består av ett idealt lågpassfilter som föregås och efterföljs av en multiplikation med (−1)^n. LP-filtrets frekvensfunktion H_LP[Ω] visas. a) Rita det totala systemets frekvensfunktion H[Ω]. b) Vilken typ av frekvensselektivt filter utgör det totala systemet?"
exam_6 - assignment 3
2 p
Relaterat: uppgiften kräver att rita utsignalens amplitudspektrum när en signal (efter ett idealt LP) multipliceras med en annan signal x2(t). Lektionen visar exakt hur multiplicering med en sinus (en speciell x2(t)) ger två förskjutna spektrala kopior och hur dessa kombineras — viktigt vid konstruktion av |Y(ω)| när en signal multipliceras med en annan. Principerna (modulation ↔ konvoluera spektra / förskjutningar) är direkt tillämpliga. Relevant snippet (kondenserat): "LP är ett idealt lågpass med gränsvinkel ω0 = 80π. LP-filtrets periodiska insignal x1(t) och amplitudspektrumet |X2(ω)| till signalen x2(t) är ritade. Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(ω)| för alla ω."

4.2 0p from connections

Spektrumet S(ω) nedan har erhållits genom att en signal x(t) har amplitudmodulerat en bärvåg c(t) = cos(ω0 t). Bestäm x(t). (Figur) S(ω) visar två band: ett band med nivå 1 mellan…
Show full question
Spektrumet S(ω) nedan har erhållits genom att en signal x(t) har amplitudmodulerat en bärvåg c(t) = cos(ω0 t). Bestäm x(t). (Figur) S(ω) visar två band: ett band med nivå 1 mellan ω = -5 och ω = -3, och ett symmetriskt band mellan ω = 3 och ω = 5.'
Solution (notes)
4.2 Grafen ⇒ S(ω)=P(ω+4)+P(ω-4), där P(ω)=rect(ω/2) (rektangulär från -1 till +1 i ω). Enligt uppgift har S(ω) uppkommit ur en amplitudmodulering av bärvågen c(t)=cos(ω_c t) med signalen x(t), dvs s(t)=x(t)·c(t) ⇒ S(ω)=1/2π (X⋆C)(ω) där C(ω)=π(δ(ω+ω_c)+δ(ω-ω_c)). ⇒ S(ω)=1/2 ( X(ω+ω_c)+X(ω-ω_c) ). Jämför med givet: => ω_c=4 rad/s & 1/2 X(ω)=P(ω) dvs X(ω)=2·P(ω)=2·rect(ω/2). Formelsamlingen Tab.3:13 med 2πa=2, dvs a=1/π ⇒ X(t)=2/π·sinc_N(t/π).
Connections (4) est. points: 0
exam_1 assignment 6
3 p
Snippet: "kaskadkopplat system, likformig sampling följt av multiplikation av den samplade signalen x[n] med (−1)^n, samt ideal rekonstruktion genom PAM... Insignalen x(t) är en sinc^2-funktion med frekvensspektrum triangulärt bandbegränsat mellan −4 kHz och 4 kHz" (uppgift) + "rita frekvensspektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω)" (poängmoment). Why connected: The lesson shows how multiplication by a carrier (cos(ω_c t)) produces shifted copies S(ω)=1/2[X(ω+ω_c)+X(ω−ω_c)] and how a rectangular spectrum maps to a sinc in time (rect ⇄ sinc). That knowledge directly helps to (a) identify X(ω) from given P(ω)/rect shapes and (b) draw the effect of the (−1)^n modulation (a discrete π-shift) and subsequent reconstruction. It solves the core spectral-shifting part of subquestion a).
exam_6 assignment 6
4 p
Snippet: "systemet består av ett idealt lågpassfilter som föregås och efterföljs av en multiplikation med (−1)^n... a) Rita det totala systemets frekvensfunktion H[Ω]. b) Vilken typ av frekvensselektivt filter utgör det totala systemet?" (uppgift). Why connected: The lesson explicitly derives that multiplication by a cosine produces two frequency shifts and that a single-sided rectangular spectrum corresponds to a sinc in time. In discrete-time (−1)^n = e^{jπn} is a modulation producing frequency shifts of ±π; the same shifting principle and reasoning about passband position apply. Knowing the lesson makes it straightforward to obtain the shifted LP responses and to classify the resulting filter (e.g. bandpass). This covers most of part (a) and the classification in (b).
exam_6 assignment 3
3 p
Snippet: "LP är ett idealt lågpassfilter... LP-filtrets periodiska insignal x1(t) och amplitudspektrumet |X2(ω)| till signalen x2(t) är ritade... Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(ω)|" (uppgift). Why connected: The lesson treats time-domain multiplication with a cosine (amplitude modulation) and the resulting sum-of-shifted spectra — a specific case of time-domain multiplication whose frequency-domain counterpart is convolution. Understanding the modulation example and the rect↔sinc transform pair helps to (i) reason about how filtering x1 before multiplication limits one factor's spectrum and (ii) perform the required frequency-domain convolution/shift operations to sketch |Y(ω)|. It supplies the central spectral-manipulation tools used in the solution.
exam_2 assignment 4
3 p
Snippet: "x(t) = Δ(t/2) samplas med f_s = 2 Hz... systemets impulssvar h[n] = 1/2 sinc_N(n/2) ... Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|" (uppgift). Solution excerpt: "X[Ω] = 1 + cos(Ω). H[Ω] rektangulär passband ±π/2. Produkt |Y[Ω]| = |X[Ω]|·|H[Ω]| skär av X[Ω] i frekvensdomänen." Why connected: The lesson explicitly uses the rect(·) ⇄ sinc_N(·) pair and shows how a rectangular frequency shape corresponds to a sinc in time (and vice versa). That transform-pair recognition is exactly what is needed to identify H[Ω] (rect) and the sampled X[Ω], and to draw their product |Y(Ω)|. It directly provides the transform intuition used in the exam solution.

4.3 0p from connections

En meddelandesignal m(t) = cos(1000t) amplitudmodulerar en bärvågssignal c(t) = cos(10000t), vilket ger den modulerade signalen s(t) = m(t)·c(t). Rita frekvensspektra M(ω) och S(ω…
Show full question
En meddelandesignal m(t) = cos(1000t) amplitudmodulerar en bärvågssignal c(t) = cos(10000t), vilket ger den modulerade signalen s(t) = m(t)·c(t). Rita frekvensspektra M(ω) och S(ω) till signalerna m(t) respektive s(t).
Solution (notes)
4.3 s(t)=m(t)·c(t). Formler Tab.2:14 ⇒ S(ω)=1/2π (M⋆C)(ω). För m(t)=cos(1000t) och c(t)=cos(10000t) betyder M(ω)=π(δ(ω+1000)+δ(ω-1000)) och C(ω)=π(δ(ω+10000)+δ(ω-10000)). I (o) i (A) ⇒ S(ω)=π/2π ( M(ω)⋆δ(ω+10000)+M(ω)⋆δ(ω-10000) ) = 1/2 M(ω+10000)+1/2 M(ω-10000). Grafiskt ⇒ fyra diracspikar vid ±9000 och ±11000 med vikt π/2 etc. Resultatet visas i figuren.
Connections (4) est. points: 0
exam_6 - assignment 3
4 p
Very relevant: the exam asks for the amplitude spectrum |Y(ω)| when y(t) = (LP{x1})(t) · x2(t). This is exactly a time-domain multiplication whose frequency-domain relation is convolution: Y(ω) = (LP output spectrum) ⋆ X2(ω). The lesson 4.3 shows how multiplying cosines yields frequency components at sums/differences (i.e. spectral shifts and new Dirac lines), which is the same principle used here (though with continuous spectra rather than pure deltas). Snippet: "LP is ideal (H_LP(ω)), x1 → LP → multiply with x2(t) (|X2(ω)| triangular). Rita |Y(ω)| for all ω." The lesson directly gives the key tool (time multiplication → frequency convolution / sum/difference of spectral components) needed to construct |Y(ω)|; additional work on the exam requires convolving the LP passband with the triangular X2(ω) and accounting for periodicity/shift, so full exam solution needs extra steps (thus <8 pts).
exam_1 - assignment 6
3 p
Strong discrete-time analogue: the exam has uniform sampling and multiplication of the sampled sequence by (−1)^n, and asks to draw X[Ω], Y[Ω] and Y(ω). Multiplication by (−1)^n is modulation in time that shifts the spectrum by π (frequency-domain convolution with the spectrum of (−1)^n). Lesson 4.3 demonstrates the modulation/spectral-shift idea in continuous-time (cos·cos → sum/difference frequencies), so knowing 4.3 gives the core concept to answer the subproblems about shifted spectral copies. Snippet: "likformig sampling ... multiplikation av den samplade signalen x[n] med (−1)^n ... Rita frekvensspegtra X[Ω], Y[Ω] och Y(ω)." The exam includes sampling and PAM reconstruction details beyond the simple product-of-cosines example, so partial points assigned.
exam_4 - assignment 6
3 p
Directly related discrete-time modulation problem: the system multiplies by (−1)^n before and after an ideal LP and asks for the total frequency response H[Ω] and the filter type. The lesson's result (product in time → convolution in frequency, cos·cos producing shifted spectral lines) supplies the exact concept needed to understand how (−1)^n shifts/reflects the LP spectrum. Snippet: "Systemet består av ett idealt lågpassfilter som föregås och efterföljs av en multiplikation med (−1)^n ... Rita det totala systemets frekvensfunktion H[Ω]." The exam requires applying the same modulation/shift reasoning in discrete-time and combining with LP characteristics, so the lesson gives a key step (motivates partial credit).
exam_6 - assignment 6
3 p
Closely related: asks for the total system frequency H[Ω] when an ideal LP is sandwiched by multiplications with (−1)^n and to classify the resulting filter. Multiplication in time shifting the spectrum is the central idea (lesson 4.3 shows cos·cos → spectral sums/differences); this directly informs how the LP passband is shifted and what filter type results. Snippet: "LP-filtrets frekvensfunktion HLP[Ω] ... multiplikation med (−1)^n före och efter HLP[Ω] ... Rita det totala systemets frekvensfunktion H[Ω] och ange filtertyp." The exam needs discrete-time wrapping/periodicity handling as well, so assign partial points.

4.5 0p from connections

I systemet nedan amplitudmodulerar meddelandesignalerna m1(t) och m2(t) de två bärvågorna c1(t) och c2(t), enligt figuren. Meddelandesignalernas frekvensspektra M1(ω) respektive M2…
Show full question
I systemet nedan amplitudmodulerar meddelandesignalerna m1(t) och m2(t) de två bärvågorna c1(t) och c2(t), enligt figuren. Meddelandesignalernas frekvensspektra M1(ω) respektive M2(ω) ges i graferna nedan. c1(t) = cos(40t), c2(t) = cos(60t). S1(t) = m1(t)·c1(t), S2(t) = m2(t)·c2(t), s(t) = s1(t) + s2(t). (Figurer) M1(ω): band från -8 till 8 med topp 6 i mitten (halvcirkelform/kuppad). M2(ω): triangelformat band med stöd [-8, 8] och topp 6 vid ω=0. a) Rita frekvensspektra S1(ω), S2(ω) och S(ω). b) Föreslå ett system/blockschema som återskapar m1(t) och m2(t) från s(t).
Solution (notes)
4.5 a) Bandbredden för en signal definieras som storleken på det (vinkel-)frekvensintervall där signalen har sitt (huvudsakliga) energi- eller effektinnehåll. De två signalerna x1(t) och x2(t) är basbandssignaler, dvs de har sitt energiinnehåll från 0 rad/s upp till en viss gränsvinkelfrekvens (eller frekvens) – i detta fall 4π rad/s (motsvarar 4π/2π = 2 Hz) respektive 6π rad/s (motsvarar 3 Hz). Notera sambandet ω=2πf. Därför är Nyquistfrekvensen för x1(t) 2·2 = 4 Hz och Nyquistfrekvensen för x2(t) är 2·3 = 6 Hz. b) x_b(t)=x1^2(t)=x1(t)·x1(t) ⇒ X_b(ω)=1/2π (X1⋆X1)(ω). Vid grafisk falkning mellan två funktioner f1 och f2 framgår att den resulterande funktionens utbredning är lika med summan av utbredningarna för f1 och f2. X1(ω) har här en utbredning på 8π rad/s (från -4π till +4π). Det innebär att X_b(ω)=1/2π (X1⋆X1)(ω) får en utbredning på 8π+8π=16π, dvs dess nollskilda spektrum ligger symmetriskt mellan -8π och +8π rad/s. Nyquistfrekvensen för x_b(t) är därför 2·8π/2π = 8 Hz. c) X_c(t)=X1(t)·X2(t) ⇒ X_c(ω)=1/2π (X1⋆X2)(ω). Med samma resonemang som i b) har X_c(ω) en total utbredning på 2·4π + 2·6π = 20π rad/s, dvs dess bandbredd är 10π rad/s ⇒ B = 10π/2π = 5 Hz. Nyquistfrekvensen för x_c(t) är därför 2·5 = 10 Hz.
Connections (5) est. points: 0
exam_6_q3
4 p
Very close concept: question asks to draw |Y(ω)| when a lowpass-filtered x1(t) is multiplied by x2(t) (with |X2(ω)| triangular and LP cutoff ω0). Multiplication in time ⇒ convolution in frequency and the resulting support is the sum of supports (bandwidths). Relevant snippet: "LP ... HLP(ω) ... ω0 = 80π rad/s" and "|X2(ω)| ... triangular ... goes to zero at ±20π" — use convolution to get Y(ω) support = sum of supports. Knowing lesson 4.5 directly gives how the bandwidths add and how to place the convolved spectra (hence much of the solution).
exam_1_q6
3 p
Related: sampling a bandlimited continuous-time signal and drawing resulting spectra uses Nyquist/sampling concepts. Lesson gives computing Nyquist frequency from bandwidth. Relevant snippet: "Insignalen x(t) är en sinc^2-funktion ... bandbegränsat mellan −4 kHz och 4 kHz ... samplingsfrekvensen f_s = 8 kHz. a) Rita frekvens­spektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω)." Knowing how to compute bandwidth and Nyquist (and how spectral replicas appear) covers core parts of this question.
exam_2_q4
3 p
Directly connected: sampling a continuous Δ(t/2) at f_s = 2 Hz and then passing through a discrete-time ideal lowpass (sinc) — outcome |Y(Ω)| is obtained by multiplying the sampled spectrum by the discrete filter passband. Relevant snippet: "x(t) = Δ(t/2) samplas ... f_s = 2 Hz ... h[n] = 1/2 sinc_N(n/2) ... Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|." Lesson 4.5's bandwidth/Nyquist ideas and frequency-domain reasoning (support of spectra, sampling replicas) are prerequisites to solve this subproblem.
exam_3_q6
3 p
Closely related concept: choosing an appropriate sampling frequency and DFT length from an ("essential") bandwidth uses the definition of bandwidth and Nyquist limit. Relevant snippet: "Signalen x(t) ... bandbredd B ... Bestäm en lämplig sampelfrekvens f_s ... minsta transformlängd N ..." Lesson 4.5 covers how to get Nyquist frequency from signal bandwidth, which is a key step in this question.
exam_5_q6
1 p
Supports a single true/false item about sampling: statement (g) 'Vid sampling ... kan den samplade signalen rekonstrueras ... om f_s ≥ 2B.' Relevant snippet: question item (g) in the list. Lesson 4.5's discussion of Nyquist frequency and sampling theorem directly justifies the answer to this sub-question (worth ~1 point).

4.6 0p from connections

Graferna nedan visar frekvensspektra X1(ω) och X2(ω) till två tidskontinuerliga signaler x1(t) respektive x2(t). X1(ω): band från -4π till 4π (halvcirkelformat). X2(ω): bandpassli…
Show full question
Graferna nedan visar frekvensspektra X1(ω) och X2(ω) till två tidskontinuerliga signaler x1(t) respektive x2(t). X1(ω): band från -4π till 4π (halvcirkelformat). X2(ω): bandpassliknande platt topp mellan -6π och 6π (rektangulärt mellan -6π och -2π och 2π till 6π, med platt mittparti). Nyquisttakten (eng. "Nyquist rate") definieras som den lägsta möjliga sampelfrekvens som krävs för att samplingsteoremet ska vara uppfyllt, dvs. den är dubbelt så stor (2B) som signalens bandbredd B Hz. (Samplingsteoremet är uppfyllt om fs > 2B.) Bestäm Nyquisttakten för följande signaler: a) x1(t) och x2(t) b) xc(t) = x1(t)·x2(t) c) xc(t) = x1(t) * x2(t) (konvolution i tid? Notera: i bilden står sannolikt xc(t)=x1(t)*x2(t) eller annan operation — tolkas utifrån sammanhang).
Solution (notes)
4.6 a) x(t)=sinc_N^2(100t). Från formelsamlingens Tab.3:15 får vi X(ω)=2π/W·Δ(ω/W) med bandbredden W rad/s. Här är W/2π=100 vilket ger W=200π rad/s, dvs bandbredden B = W/2π = 100 Hz. Den lägsta samplefrekvens fs som krävs för att samplingsteoremet ska vara uppfyllt vid sampling av x(t), dvs Nyquistfrekvensen, är därför 2B = 200 Hz. b) x(t)=sinc_N(100t)+3·sinc_N^2(60t). Från formelsamlingens Tab.3:13 och 3:15 erhålls: X(ω)=1/a·rect(ω/2π·a) + 3·2π/W·Δ(ω/2W), där a=100 och W/2π=60 ⇒ W=120π rad/s. Den första termens bandbredd är πa = 100π rad/s, den andra termens bandbredd är W = 120π rad/s, vilket ger total bandbredd för x(t) lika med 120π rad/s ⇒ B = 120π/2π = 60 Hz. Den efterfrågade Nyquistfrekvensen är alltså 2B = 120 Hz.
Connections (6) est. points: 0
exam_1 - 6
3 p
Snippet: "Samplingsfrekvensen är f_s = 8 kHz. Insignalen x(t) är en sinc^2-funktion med frekvensspektrum ... triangulärt bandbegränsat mellan −4 kHz och 4 kHz" (uppg. ber be om att rita X[Ω], Y[Ω] och Y(ω)). Relevans: Lesson 4.6 gives the bandwidth/Nyquist-frekvens for sinc_N^2 signals (how sinc^2 maps to a triangular/finite spectrum and how to get B and 2B). Knowing 4.6 lets a student immediately identify the baseband extent of a sinc^2 signal and therefore reason about sampling copies, aliasing and the relation between continuous and discrete spectra — which supplies a significant portion of the reasoning needed to draw the requested spectra. Estimated points: 3/6 for part (a) (lesson gives the bandlimit/Nyquist insight but not the full DTFT/scale conversions).
exam_2 - 4
4 p
Snippet: "x(t) = Δ(t/2) samplas idealt med f_s = 2 Hz ... insignal till ett tidsdiskret LTI-system med impulssvar h[n] = 1/2 sinc_N(n/2) ... Rita |Y(Ω)|." Relevans: Lesson 4.6 explains transform pairs and bandwidths for sinc_N and sinc_N^2 and how sinc_N in time corresponds to rectangular (band-limited) spectra — directly useful for determining H[Ω] (ideal rect) and for predicting the bandlimited product X[Ω]·H[Ω] after sampling. A student who masters 4.6 can write down H[Ω]'s support and how it truncates X[Ω], which is a large part of the exam solution. Estimated points: 4/8 (significant direct overlap: identifying rect-bandwidth and effect on sampled spectrum).
exam_2 - 2
5 p
Snippet: "H(ω) = e^{j2ω} sinc_N(ω/π) = e^{j2ω} sinc(ω). a) Beräkna systemets utsignal y(t) då insignalen är x(t) = e^{−t} u(t)." Relevans: This uses the inverse Fourier transform of a sinc-shaped frequency response (and the modulation/shift property e^{j2ω}), the exact transform-pairs also used in lesson 4.6 (tables for sinc and sinc^2). Mastery of 4.6 yields the ability to recognize that sinc(ω) corresponds to a time-domain rectangular/pulse and how the frequency-domain modulation yields time shifts — which is central to computing h(t) and thus y(t). Estimated points: 5/7 (lesson gives the crucial transform-pair and shift insight but convolution with x(t) still requires extra steps).
exam_3 - 6
–
Snippet: "Signalen x(t)=75/(25 t^2 + 1) samplas ... vi låter signalens bandbredd B vara den frekvens där amplitudspektrumet når en faktor 1/80 av sitt maxvärde. Bestäm lämplig f_s och minsta transformlängd N." Relevans (prerequisite): Lesson 4.6 teaches how to compute the (essential) bandwidth of signals that have sinc-like spectra and how to use B to get Nyquist f_s ≥ 2B. While exam_3 requires applying this idea to a different spectrum (Lorentzian-type), the conceptual use of 'determine B then set f_s > 2B' is the same. This is a prerequisite connection (no direct point score assigned).
exam_5 - 6 (subquestion g)
1 p
Snippet: "g) Vid sampling av en tidskontinuerlig signal med bandbredd B Hz, så kan den samplade signalen rekonstrueras tillbaka om sampelfrekvensen f_s är minst dubbelt så stor som B." Relevans: This is the Nyquist statement asked as a true/false subquestion. Lesson 4.6 explicitly computes Nyquist frequency (2B) for sinc-based signals, so knowing 4.6 directly answers this 1-point item (true). Estimated points: 1/1 (full credit for this 1-point subquestion).
exam_1 - 6 (part b / DFT remark)
2 p
Snippet: "b) Låt X_r vara DFT:n av x[n] för −2 ≤ n ≤ 2 ... Rita X_r i intervallet −7 ≤ k ≤ 7. (Notera att inga beräkningar behövs.)" Relevans: Understanding how a band-limited sinc^2 time signal maps to a triangular continuous spectrum and how finite-time sampling/windowing produces a sampled/periodic discrete spectrum relies on the same sinc↔rect/triangle relationships in lesson 4.6. That knowledge reduces work in sketching the DFT samples. Estimated points: 2/3 (helps sketching X_r though other DFT/windowing concepts are also needed).

4.7 0p from connections

Bestäm den lägsta sampelfrekvensen fs som krävs för att samplingsteoremet ska vara uppfyllt vid sampling av x(t) i följande fall: a) x(t) = sinc_N^2(100t) (troligen kvadraten på e…
Show full question
Bestäm den lägsta sampelfrekvensen fs som krävs för att samplingsteoremet ska vara uppfyllt vid sampling av x(t) i följande fall: a) x(t) = sinc_N^2(100t) (troligen kvadraten på en normaliserad sinc med bandbredd 100 rad/s) b) x(t) = sinc_N(100t) + 3 sinc_N^2(60t) (Avsikten är att bestämma den högsta signalfrekvensen/B som avgör fs > 2B.)
Solution (notes)
4.7 x(t)=Δ((t-1)/2). Se definitionen av Δ(t) på sid.2 i formelsamlingen alt. Tab.3:14 för Δ(t/T). Tab.3:14 med T=2 sek och Tab.2:8 med t0=1 sek ⇒ X(ω)=sinc_N^2(ω·t0/2π)·e^{-jωt0} ⇒ |X(ω)|=sinc_N^2(ω/2π). Grafen visar en huvudlob centrerad vid ω=0. a) X[n]=x(nT) med fs=10 Hz ⇒ T=1/10 sek. Poissons summationsformel: X̄(ω)=1/T ∑_{n=-∞}^∞ X(ω-n·ω_s) där 1/T=fs=10 och ω_s=2πfs=20π rad/s. ⇒ X̄(ω) utgörs av en amplitudskalad och ω_s-periodiserad version av X(ω). Figuren visar kopior med amplitud 10 och period 20π. Om X[n]=x(nT) med fs=2 Hz ⇒ T=0.5 sek. Poissons summationsformel igen => X̄(ω)=1/T ∑ X(ω-nωs) där 1/T=fs=2 och ωs=2πfs=4π rad/s. X̄(ω) utgörs av en amplitudskalad (faktor 2) och periodiserad (period ωs=4π) version av X(ω). Figuren visar summan av dessa sinc^2-funktioner. Altenativ lösning med direkta delta-summor ges för fs=2 Hz: X̄(t)=x(t)·∑ δ(t-nT) = ∑ x(nT) δ(t-nT) = 0.5δ(t-0.5)+δ(t-1)+0.5δ(t-1.5). Formler Tab.3:1 & 2:8 ⇒ X̄(ω)=0.5 e^{-jω0.5}+ e^{-jω1} +0.5 e^{-jω1.5} = e^{-jω} ( e^{j0.5ω}+ e^{-j0.5ω} )/2 +1 = e^{-jω}(cos(0.5ω)+1). ⇒ |X̄(ω)| = cos(0.5ω)+1, period = 2π/0.5 = 4π. Om X[n]=x(nT) med fs=1 Hz ⇒ T=1 sek. Poissons formel ⇒ X̄(ω)=1/T ∑ X(ω-nωs) där 1/T=fs=1 och ωs=2πfs=2π rad/s. Figuren visar summan av sinc^2-kopior. Vid ideal sampling blir i detta fall X̄(t) den tidskontinuerliga modellsignalen för X[n], lika med X_L[jδ(t-T)] = δ(t-1) ⇒ X̄(ω)=F{δ(t-1)}=1·e^{-jω} ⇒ |X̄(ω)|=1. b) Nej, x(t) kan inte återskapas/rekonstrueras perfekt utgående från x[n] i något av de tre fallen. Det beror på att x(t) har oändlig bandbredd, så samplingsteoremet kan därför aldrig uppfyllas oavsett hur stor samplingfrekvens fs som används. I praktiken kan man dock rekonstruera x[n] till en signal som till utseendet blir mycket nära x(t) om man väljer fs tillräckligt stor så att de periodiska upprepningarna av X̄(ω) inte överlappar varandra så mycket. sinc^2-funktionen går rätt snabbt mot noll åt båda hållen, så i fallet med fs=10 Hz bör man t.ex. få en bra överensstämmelse med x(t) vid rekonstruktionen. Man kan visa att ca. 90,3% av energin hos x(t) ligger inom sinc^2-funktionens huvudlob, dvs inom 2π rad/s motsvarande B=1 Hz. I praktiken är det ofta lämpligare att låta mer av signalens energi ligga inom den väsentliga bandbredden — kanske 95–98%. Här är det därför lämpligare att låta den väsentliga bandbredden vara åtminstone 2 eller 3 Hz, så man får med åtminstone 1–2 sidolober av spektrumet, dvs så fs=4 eller 6 Hz.
Connections (4) est. points: 0
exam_2_q4
6 p
Very strong, nearly identical: exam asks about x(t) = Δ(t/2) sampled with fs = 2 Hz and to draw the discrete-time amplitude spectrum |Y(Ω)| after an LTI block (text: "x(t) = Δ( t / 2 ) samplas idealt med sampelfrekvensen f_s = 2 Hz..."). Lesson 4.7 works out X(ω) for Δ((t-1)/2), uses T=2s, shows Poisson periodisation for fs=2 Hz, gives the delta-sum alternative for fs=2 Hz and derives X̄(ω)=e^{-jω}(cos(0.5ω)+1) and |X̄(ω)|=cos(0.5ω)+1 (period 4π). Thus the lesson directly supplies the key spectrum expressions and qualitative behaviour needed to sketch |Y(Ω)| (only minor further step: multiply by H[Ω] of the discrete LTI system). Snippet from exam: "Den tidskontinuerliga signalen x(t) = Δ( t / 2 ) samplas idealt med sampelfrekvensen f_s = 2 Hz... LTI-systemets utsignal är y[n]. Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|."
exam_5_q6g
1 p
Directly answers the conceptual true/false item about the sampling theorem: exam statement g) "Vid sampling ... kan den samplade signalen rekonstrueras tillbaka om samplingsfrekvensen f_s är minst dubbelt så stor som B." Lesson 4.7 explicitly discusses that Δ-based signal has infinite bandwidth and therefore cannot be perfectly reconstructed for any fs, and also explains practical/essential bandwidth considerations. Snippet from lesson: "Nej, x(t) kan inte återskapas/rekonstrueras perfekt ... x(t) har oändlig bandbredd, så samplingsteoremet kan därför aldrig uppfyllas oavsett hur stor samplingfrekvens fs som används." (This directly gives the correct answer and short justification for that 1-point question.)
exam_3_q6
–
Good conceptual/prerequisite connection (no direct points): exam asks to pick a suitable sampling frequency f_s and DFT length N given a non-bandlimited signal and a definition of "essential" bandwidth, and to express and sketch the sampled-spectrum X_d[Ω]. Lesson 4.7 treats a non-bandlimited triangular/Δ signal, discusses infinite bandwidth, the idea of essential (practical) bandwidth (gives numbers: ~90.3% energy in main lobe, recommends choices of fs like 4 or 6 Hz), and applies Poisson/semi-analytic sampling reasoning. Snippet from exam: "Eftersom x(t) inte är bandbegränsad... låt signalens bandbredd B vara dess väsentliga... Bestäm lämplig sampelfrekvens f_s och minsta transformlängd N... Sätt upp uttryck för X_d[Ω]..."
exam_1_q6
–
Relevant prerequisite: exam 1 Q6 asks for spectra after uniform sampling (Poisson summation), DTFT/periodisation and reconstruction/PAM for a sinc^2 signal sampled at f_s = 8 kHz. Lesson 4.7 covers the same core tools — CTFT of a triangular/Δ pulse (sinc^2), Poisson summation formula, how sampling produces periodized/scaled copies in frequency and how aliasing/reconstruction depends on fs — so mastering 4.7 gives the main tools needed to draw X[Ω], Y[Ω] and Y(ω). Snippet from exam: "Betrakta... likformig sampling av x(t) följt av... ideal rekonstruktion... Samplingsfrekvensen är f_s = 8 kHz. Insignalen x(t) är en sinc^2-funktion... a) Rita frekvens­spektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω)."

4.8 0p from connections

Den tidskontinuerliga triangelsignalen x(t) = Δ((t-1)/2) samples idealt med tre olika sampelfrekvenser, fs = 10, 2 respektive 1 Hz. a) Rita den sampade signalen x[n] = x(nT) och s…
Show full question
Den tidskontinuerliga triangelsignalen x(t) = Δ((t-1)/2) samples idealt med tre olika sampelfrekvenser, fs = 10, 2 respektive 1 Hz. a) Rita den sampade signalen x[n] = x(nT) och skissera dess amplitudspektrum |X̄(ω)| för varje val av sampelfrekvens. b) Kan x(t) återskapas/rekonstrueras perfekt utgående från x[n] i något av de tre fallen? Om inte – vilket val av sampelfrekvens fs upplever du kan ge en rekonstruktion som någorlunda väl överensstämmer med x(t)? Förklara hur du resonerar, bl.a. med avseende på den väsentliga bandbredden hos x(t). Du kan här välja fs fritt, det behöver inte vara någon av de tre frekvenserna ovan."
Solution (notes)
4.8 a) X[n]=X(nT) där T=1/fs = 0.1, fs=10 Hz. Poissons summationsformel ⇒ X̄(ω)=1/T ∑_{n=-∞}^∞ X(ω-nωs). Där X(ω)=F{5·sinc_N^2(5t)+cos(20πt)} = enligt formelsamlingen Tab.3:15 med W/2π=5, dvs W=10π rad/s, och Tab.3:22 med ω0=20π rad/s ⇒ X(ω)=Δ(ω/20π) + π(δ(ω+20π)+δ(ω-20π)). ⇒ X̄(ω) är en ωs-periodisering (period ωs=2πfs = 20π rad/s) av en amplitudskalad (faktor 1/T = fs = 10) version av X(ω). Figuren visar periodiska trianglar och dirac:er. Bandbredden hos x(t) är 20π rad/s dvs B = 20π/2π = 10 Hz vilket är cosinusens frekvens. fs =10 < 2B ⇒ samplingsteoremet inte uppfyllt ⇒ x(t) kan inte rekonstrueras från x[n]. b) fs=20 Hz ⇒ i X̄(ω)=1/T ∑ X(ω-nωs) sker nu en amplitudskalning med faktor 1/T = fs = 20 och periodisering med perioden ωs=2πfs = 40π rad/s. Här är samplingsteoremet nästan uppfyllt då fs = 2B, där B = 10 Hz är cosinusens frekvens. I praktiken går det att rekonstruera en cosinus med en frekvens som är halva samplefrekvensen, men ett 'problem' har uppstått i frekvensdomen: Ännu nu har två diracer adderats, denna gång i w = ±20π + n·ωs. Om rekonstruktionsfiltret är ett idealt lågpassfilter med gränsvinkel mellan ω=20π rad/s och ω=30π rad/s, enligt nedan, så erhålls Y(ω)=X̄(ω)·H(ω) där den rekonstruerade signalen blir y(t)=5·sinc_N^2(5t) + 2·cos(20π t) ≠ x(t). Den önskade rekonstruktionen kan därför inte erhållas. c) x(t)=5·sinc_N^2(5t)+sin(20πt) ⇒ X(ω)=Δ(ω/20π) + jπ(δ(ω+20π)-δ(ω-20π)). X̄(ω) med fs=20 Hz (T=1/20, ωs=40π) ger periodisk upprepning där vid w=±20π + nωs en positiv dirac kan adderas med en lika stor negativ. Detta innebär att informationen om sinussen inte finns med i X[n]. I tidsdomen har sinussen samples två gånger per period, där den är lika med noll. x(t) kan därför inte rekonstrueras från X[n]. d) X[n]=x(nT), fs=21 Hz, T=1/21, ωs=2πfs=42π rad/s. Poissons summationsformel X̄(ω)=1/T ∑ X(ω-nωs). Här är samplefrekvensen fs strikt större än dubbla signalens bandbredd (högsta frekvenskomponent) på B=10 Hz. Det innebär att de periodiska upprepningarna av X(ω) inte överlappar och vi kan därför erhålla x(t) med hjälp av ett rekonstruktionsfilter med frekvensfunktion H(ω) enligt följande: H(ω) ideal lågpass från -ωs/2 = -21π till +21π (gräns = 2π). Då Y(ω)=X̄(ω)·H(ω) = X(ω) ⇒ den rekonstruerade signalen är y(t)=x(t).
Connections (4) est. points: 0
exam_1_q6
6 p
Snippet: "Uppgift 6 — likformig sampling x[n]=x(nT), fs=8 kHz. Insignal x(t) är sinc^2 med triangel-spektrum ±4 kHz. a) Rita frekvens­spektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω) och motivera analytiskt." Connection: This exam question asks for exactly the spectral periodization after ideal sampling (Poisson summation), DT/CT frequency mapping and reconstruction — the core topics of lesson 4.8 (Poisson summation, X̄(ω) = (1/T) Σ X(ω − nωs), aliasing, decision if reconstruction possible). I assign 6 points because knowing 4.8 gives most of the reasoning and sketches for part (a) (periodization, scale factor 1/T, Nyquist condition) but the exam also requires handling the subsequent (-1)^n modulation/DFT parts and specific plotting details that go beyond the single lesson.
exam_2_q4
6 p
Snippet: "Uppgift 4 — x(t)=Δ(t/2) samplas med fs=2 Hz → x[n]; x[n] enters discrete LTI-system h[n]=1/2·sinc_N(n/2). Rita |Y(Ω)|." Connection: The problem is a direct application of sampling + discrete-frequency-domain multiplication: obtain X[Ω] from sampling (periodization / Poisson result), then multiply by H[Ω] to get Y[Ω]. Lesson 4.8 covers the Poisson summation, periodization, the role of fs relative to signal bandwidth and reconstruction filtering — so it supplies the main tools to solve this question. I give 6 points since 4.8 provides the central spectral periodization and Nyquist reasoning, but the exam also expects computation/details of the discrete filter frequency response and plotting that require additional formulas.
exam_3_q6
5 p
Snippet: "Uppgift 6 — x(t)=75/(25 t^2+1) samplas; because not bandlimited define essential bandwidth B (1/80 amplitude rule); choose suitable fs and DFT length N; express X_d[Ω] via X(f) and sketch periodic sampled spectrum." Connection: Lesson 4.8's use of Poisson summation, interpretation of spectral copies, and the Nyquist criterion directly inform choosing fs and expressing the sampled-spectrum X_d[Ω] as periodic/ scaled copies. I assign 5 points because 4.8 provides the sampling-spectrum machinery and aliasing intuition, but the exam also requires the 'essential bandwidth' calculation and discrete-DFT sizing (practical choices) beyond the basic derivation.
exam_5_q6
–
Snippet: "Uppgift 6 (påståenden) g) 'Vid sampling av en tidskontinuerlig signal med bandbredd B Hz, så kan den samplade signalen rekonstrueras om f_s är minst dubbelt så stor som B.' h) DFT period relation..." Connection: These true/false conceptual statements test understanding of the sampling theorem and discrete-frequency periodicity — basic conceptual knowledge that lesson 4.8 develops. This is a prerequisite-style connection (conceptual), so no direct exam points are assigned here; knowing 4.8 is necessary to answer these statements but doesn't map 1:1 to a multi-step exam solution.