Lesson 5 — Summary

8 assignments · 0 connections · est. points from connections: 0
Conn. density: 0.0/assignment
Avg. pts/assignment: 0.0

5.1 0p from connections

Figuren nedan visar spektrumet för en amplitudmodulerad signal s(t) = x(t)·cos(ωc t), där ωc = 2πfc och fc >> B. [S(f) visas som två trianglar centrerade vid ±fc med toppvärde 3 o…
Show full question
Figuren nedan visar spektrumet för en amplitudmodulerad signal s(t) = x(t)·cos(ωc t), där ωc = 2πfc och fc >> B. [S(f) visas som två trianglar centrerade vid ±fc med toppvärde 3 och bredd B: från fc-B till fc+B och från -fc-B till -fc+B] Signalen s(t) samplas idealt med sampelfrekvensen fs = fc och rekonstrueras därefter idealt till signalen y(t). a) Skissera den samplade signalens spektrum bar{S}(f) och den rekonstruerade signalens spektrum bar{Y}(f). b) Hur skiljer sig den rekonstruerade signalen y(t) från x(t)? Vilken AM-relaterad funktion har samplings- och rekonstruktionssystemet?
Solution (notes)
a) Ideal sampling ⇒ s̄(t) = s(t)·δs(t) ⇒ S̄(ω) = 1/T Σ_{n=-∞}^{∞} S(ω - n·ωs) ⇒ S̄(f) = fs · Σ_{n=-∞}^{∞} S(f - n·fs), fs = fc ⇒ Skala S(f) med fs = fc och upprepa med perioden fc: (ritad frekvensbild med trianglar vid ±B med period fc) ⇒ De fc-periodiska upprepningarna innebär att tvåa "trianglar" hamnar centrerade vid samma frekvenser f = n·fc ⇒ A = 3·fs·2 = 6·fc (fs = fc) Vid ideal rekonstruktion används följande frekvensfunktion hos rekonstruktionsfiltret, för att bara släppa igenom spektrumet för |ω| < ωs/2, skalad med T (för att kompensera för skalningen 1/T som uppstår vid sampling): H(ω) = T·rect(ωT / 2π) ⇒ H(f) = T·rect(fT) (ritade figurer för H(f) och Y(f)=S̄(f)·H(f)) b) Vid AM-modulering enligt uppgift, s(t) = x(t)·cos(ωc t), så flyttas spektrumet X(f) (centrerad kring f=0) till ±fc och skalas med en faktor 1/2. Det innebär att X̄(f) ser ut som Ȳ(f), dvs. y(t) = x(t). Samplings- och rekonstruktionssystemet har "flyttat tillbaka" spektruminnehållet från ±fc till att ligga centrerat runt f=0 ⇒ Systemet utför en AM-demodulering.
Connections (5) est. points: 0
exam_1, assignment 6
6 p
Snippet: "Betrakta nedanstående kaskadkopplade system, bestående av likformig sampling av x(t) följt av en multiplikation av den samplade signalen x[n] med (−1)^n, samt ideal rekonstruktion genom pulsamplitudmodulering (PAM). Samplingsfrekvensen är f_s = 8 kHz. Insignalen x(t) är en sinc^2-funktion med frekvensspektrum triangulärt bandbegränsat mellan −4 kHz och 4 kHz." Connection: This exam question asks for the sampled-spectrum, the effect of a discrete modulation (−1)^n) and the ideal PAM reconstruction—directly using the ideal sampling theorem, spectral repetitions, and ideal reconstruction filter (H(f)=T·rect) treated in lesson 5.1. The lesson covers the core derivation and drawing of S̄(f), replication with period f_s, and ideal reconstruction; that knowledge would give most points for part (a) (spectrum sketches) and the reconstruction reasoning here.
exam_2, assignment 4
5 p
Snippet: "Den tidskontinuerliga signalen x(t)=Δ(t/2) samplas idealt med sampelfrekvensen f_s = 2 Hz ... Samplingen resulterar i den tidsdiskreta signalen x[n], som i sin tur är insignal till ett tidsdiskret energifritt LTI-system med impulssvar h[n] = 1/2 sinc_N(n/2) ... Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|." Connection: The task requires forming the sampled continuous-to-discrete spectrum (periodic replications), mapping to discrete-frequency X(Ω), and then applying a discrete-time filter H[Ω] — the lesson's derivation of ideal sampling S̄(f)=f_s Σ S(f−n f_s) and the role of a rect-shaped reconstruction/pass filter are directly applicable. The exam is not identical (it moves on to a discrete filter and specific fs), so I assign partial credit (about 5 of the question's 8 points) for mastery of the sampling/repetition and filtering concepts covered in 5.1.
exam_6, assignment 6
3 p
Snippet: "Det tidsdiskreta LTI-systemet ... består av ett idealt lågpassfilter som föregås och efterföljs av en multiplikation med (−1)^n ... a) Rita det totala systemets frekvensfunktion H[Ω]. b) Vilken typ av frekvensselektivt filter utgör det totala systemet?" Connection: Multiplication by (−1)^n is a discrete-time modulation that shifts the spectrum by π (analogous to continuous-time AM shifting by ±f_c in lesson 5.1). Understanding how modulation shifts spectra and how an ideal rectangular passband selects components (as in lesson 5.1's H(f)=T·rect) is a prerequisite to sketching H[Ω] and identifying the resulting filter type. This is not identical (discrete-time vs continuous-time and double modulation), so no full credit — assigned ~3 points of relevance.
exam_3, assignment 6
3 p
Snippet: "Signalen x(t)=75/(25 t^2 + 1) samplas likformigt med sampelfrekvens f_s ... Efter samplingen kan fouriertransformen approximeras med hjälp av DFT ... b) Sätt upp ett uttryck för X_d[Ω] som funktion av X(f), samt rita amplitudspektrumet |X_d[Ω]| ..." Connection: This asks for the sampled-signal spectrum (periodic repetitions and scaling) and mapping to discrete-frequency, directly using the sampling identity S̄(f)=f_s Σ S(f−n f_s) treated in lesson 5.1. The lesson gives the core formula and reconstruction/filtering context; additional DFT/DFT-length selection details in the exam are extra, so I give moderate credit (~3 points).
exam_5, assignment 6(g)
–
Snippet: "g) Vid sampling av en tidskontinuerlig signal med bandbredd B Hz, så kan den samplade signalen rekonstrueras tillbaka om samplingsfrekvensen f_s är minst dubbelt så stor som B." Connection: This is the Nyquist sampling criterion — a direct conceptual prerequisite of lesson 5.1 (derivation of spectral repetitions and the need to avoid overlap, f_s > 2B). It's foundational but a brief theory statement rather than a multi-step problem, so I mark this as a prerequisite (no points awarded here).

5.2 0p from connections

Frekvenssignalen x(t) = cos(2π f0 t) samplas idealt med sampelfrekvensen fs = 20 Hz och rekonstrueras sedan idealt till signalen y(t) = cos(2π f1 t). Bestäm frekvensen f1 hos y(t)…
Show full question
Frekvenssignalen x(t) = cos(2π f0 t) samplas idealt med sampelfrekvensen fs = 20 Hz och rekonstrueras sedan idealt till signalen y(t) = cos(2π f1 t). Bestäm frekvensen f1 hos y(t) då frekvensen f0 hos x(t) är: a) 8 Hz b) 12 Hz c) 20 Hz d) 22 Hz e) 32 Hz
Solution (notes)
x(t) = cos(2πf0 t) ⇒ X(ω) = π[δ(ω+ω0) + δ(ω-ω0)] ⇒ X(f) = 1/2[δ(f+f0) + δ(f-f0)] (ritad spektrumbild med pilar 1/2 vid ±f0) - Vid den ideala samplingen till X̄(t) kommer X̄(f) att bestå av en fs-periodisk upprepning av X(f). - Vid den ideala rekonstruktionen erhålls y(t) = cos(2πf1 t), eftersom det i X̄(f) kommer att finnas diracer inom |f| < fs/2. Om samplingsteoremet är uppfyllt vid samplingen, dvs. fs > 2f0 ⇒ f0 < fs/2, så erhålls f1 = f0. Om däremot fs < 2f0, dvs. f0 > fs/2, så blir det vid samplingen istället så att det är en fs-periodisk upprepning av någon av diracerna i X̄(f) som hamnar vid en annan frekvens f1 = ±f0 + k·fs < fs/2 (dvs. vikning uppstått och vi erhåller y(t)=cos(2πf1 t)). Exempel: a) f0 = 8 Hz < fs/2 = 10 Hz ⇒ samplingsteoremet är uppfyllt ⇒ f1 = f0 = 8 Hz b) f0 = 12 Hz ⇒ diracer i ±f1; f1 = -12 + 20 = 8 Hz c) f0 = 20 Hz ⇒ diracer i f1 = 20 - 20 = 0 Hz ⇒ Y(f) = 2·1/2 δ(f) ⇒ y(t) = 1 d) f0 = 22 Hz ⇒ f1 = 22 - 20 = 2 Hz e) f0 = 32 Hz ⇒ f1 = -32 + 2·20 = 8 Hz Kommentar: Rita gärna S̄(f) för varje fall f0 för att bekräfta resultaten grafiskt.
Connections (5) est. points: 0
exam_1 - q6a
3 p
Snippet: "Uniform sampling with f_s = 8 kHz. Input x(t) is a sinc^2 (triangular) spectrum band-limited between −4 kHz and 4 kHz. (a) Draw spectra X[Ω], Y[Ω] and Y(ω)." Connection: The lesson explains that ideal sampling produces an f_s-periodic repetition of X(f) and that ideal reconstruction picks the replica within |f|<f_s/2 (and how aliasing/overlap maps frequencies). That is the central conceptual step needed to draw X̄(f), to locate the periodic replicas and to reason which replica is passed by the reconstructor to form Y(ω). Point estimate: 3/6 points for subquestion (a). I did not assign full credit because the exam subquestion also requires specific DTFT scaling, converting continuous ↔ discrete frequency axes and handling the subsequent multiplication by (−1)^n in the chain (which induces a π-shift in discrete frequency) — additional facts beyond the single-cosine aliasing rule in the lesson are needed.
exam_2 - q4
4 p
Snippet: "x(t)=Δ(t/2) sampled with f_s = 2 Hz → x[n]; then passed through a discrete-time LTI with h[n]= (1/2) sinc_N(n/2). Draw the output amplitude spectrum |Y(Ω)|." Connection: The lesson gives the core sampling result — that sampling produces an f_s-periodic repetition of X(f) — and shows how spectral replicas fall into the baseband and can fold (alias). To obtain |Y(Ω)| one must form the sampled-spectrum (periodic copies) and then multiply by H(Ω). Thus knowing the lesson directly yields the main spectral construction step and identifies possible aliasing. Point estimate: 4/8 points (the lesson supplies the main conceptual mechanism; remaining work involves computing the specific sampled X[Ω] for Δ(t/2), the exact discrete-time frequency mapping and the filter's precise passband shape).
exam_5 - q6(g)
1 p
Snippet: Statement (g) in a true/false list: "When sampling a continuous signal with bandwidth B Hz, the sampled signal can be reconstructed back if the sampling frequency f_s is at least twice B." Connection: This is the sampling theorem stated directly in the lesson (fs > 2f0 / general fs > 2B). The lesson provides the exact criterion and explanation — so a student who knows the lesson would get this 1-point subpart correct.
exam_3 - q6
–
Snippet: "x(t)=75/(25 t^2 +1) sampled with f_s; approximate DFT length N; express X_d[Ω] as function of X(f) and sketch |X_d[Ω]| (sampling/DFT design)." Connection (prerequisite): The lesson's sampling-spectrum repetition and aliasing ideas are a necessary foundation to form X_d[Ω] and to sketch the periodic sampled spectrum. However, this exam question also requires estimating an "essential" bandwidth, choosing numeric f_s and DFT length N (practical design calculations) and applying Poisson/DFT relations. Because these additional steps go beyond the simple mapping of a single-tone cosine, I mark this as a prerequisite connection (no direct points assigned).
exam_6 - q6
–
Snippet: "A discrete-time system composed of multiplication by (−1)^n before and after an ideal lowpass H_LP[Ω]; draw total H[Ω] and state which type of frequency-selective filter results." Connection (prerequisite): The lesson focuses on sampling/aliasing (how spectra repeat and fold). The exam question centers on time-domain multiplication by (−1)^n which corresponds to frequency shifting/modulation in discrete time (shifting the passband by π). Understanding spectral repetition/placement (lesson) helps reason about where the shifted passbands land and whether they alias, but the specific operation is modulation (not plain sampling of a cosine). Thus the lesson is useful background but does not by itself solve the question — no points assigned.

5.3 0p from connections

Antag att ljudsignalen x(t) är strikt bandbegränsad till B = 20 kHz. Vid en ideal sampling av x(t) så väljs en sampelfrekvens fs som är en multipel av signalens Nyquistfrekvens 2B,…
Show full question
Antag att ljudsignalen x(t) är strikt bandbegränsad till B = 20 kHz. Vid en ideal sampling av x(t) så väljs en sampelfrekvens fs som är en multipel av signalens Nyquistfrekvens 2B, dvs. fs = m·2B, där m ∈ Z+, dvs. ett heltal ≥ 1. Här sker alltså en s.k. oversampling med en faktor m. Den samplade signalen sparas digitalt för att senare rekonstrueras när man vill lyssna på musiken. Rekonstruktionen sker genom pulsamplitudmodulering med pulsformen h(t) = rect(t/τ) (samma fs = 1/T som vid samplingen), vilket alltså är rekonstruktionsfiltrets impulssvar, och vi kallar den rekonstruade signalen för y(t). Hur många gångers oversampling krävs (dvs. vilket är det minsta värdet på m) för att rekonstruktionen (D/A-omvandlaren) inte ska dämpa diskanten vid f = B = 20 kHz med en faktor lägre än 0,98, dvs. så att |Y(B)| ≥ 0.98·|X(B)| ? (Tips: Du behöver ta fram ett allmänt samband för hur H(f) beror på fs och sedan beräkna rekonstruktionsfiltrets skalning för varje fs som undersöks/testas.)
Solution (notes)
Här sker en ideal sampling med fs > 2B = 40 kHz och spektrumet till den samplade signalen X̄(t) erhålls från Poissons summationsformel: X̄(f) = 1/T Σ X(f - n·fs) där vi inte fått något överlapp mellan de fs-periodiska upprepningarna av X(f), där fs = m·2B. (ritad bild av |X̄(f)| med band vid ±B och inga överlapp) En PAM-rekonstruktion med pulsformen/impuls svaret h(t) = rect(t/T) innebär en icke-ideal rekonstruktion, eftersom H(f) inte är bandbegränsad till |f| < fs/2. Formelsamlingens Tab.3:12 ⇒ H(ω) = T·sinc_N(ωT / 2π) där faktorn T framför sincen kompenserar för amplitudskalningen 1/T i Poissons summationsformel. Den rekonstruerade signalens fouriertransform är Ψ(ω) = X̄(ω)·H(ω) ⇒ |Ψ(B)| = |X̄(B)|·|H(B)| = 1/T·|X(B)|·T·sinc_N(B / fs) > 0.98|X(B)| Ingen vikning ⇒ X̄(B) = 1/T·X(B). fs = m·2B ⇒ sinc_N(1/2 m) = sin(π / 2m) / (π / 2m) > 0.98 ⇒ villkoret uppfylls för m ≳ 5.
Connections (5) est. points: 0
exam_1 - 6
5 p
Snippet: “…likformig sampling av x(t) följt av multiplikation av den samplade signalen x[n] med (−1)^n, samt ideal rekonstruktion genom pulsamplitudmodulering (PAM). Samplingsfrekvens f_s = 8 kHz. Insignalen x(t) är sinc^2 med spektrum bandbegränsat mellan −4 kHz och 4 kHz. a) Rita frekvens­spektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω).” Connection: This question is highly related — it asks for the sampled-signal spectrum and PAM reconstruction. The lesson 5.3 gives Poisson’s summation X̄(f)=1/T Σ X(f−n fs), the condition fs>2B to avoid overlap, and the PAM reconstruction pulse response H(f)=T·sinc_N(·) with the resulting sinc-weighting at band edges (and the m≈5 criterion for >0.98). Knowing the lesson yields most of the frequency-domain reasoning and how to draw X̄(f) and the effect of a rectangular PAM pulse on the reconstructed spectrum (i.e. the sinc weighting), so it directly supplies a large part of the solution to part (a).
exam_2 - 4
4 p
Snippet: “x(t)=Δ(t/2) samplas idealt med f_s=2 Hz ⇒ x[n]; därefter tidsdiskret LTI-system med impuls­svar h[n]=1/2·sinc_N(n/2). Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|.” Connection: This is a sampling + discrete-time filtering problem. Lesson 5.3 covers how sampling produces periodic repetitions in frequency (Poisson summation) and how a sinc/rectangular pulse/filter shapes the spectrum (H being sinc-like and amplitude-scaling T vs 1/T). That directly helps to form X[Ω], H[Ω] and hence |Y(Ω)|; remaining work is applying those formulas to the given parameters.
exam_3 - 6
2 p
Snippet: “Signalen x(t)=75/(25 t^2 + 1) samplas likformigt med f_s; signalens 'essential' bandbredd B definieras; välj lämplig f_s > 2B och DFT-längd N (power of two).” Connection: The lesson’s discussion of sampling theorem (fs > 2B), Poisson summation and the link between continuous spectrum replicas and discrete/DFT sampling is directly relevant to choosing f_s and understanding the periodic replications in frequency. It does not by itself give the numerical steps about the 1/80 criterion or the DFT-size choice, so this is a prerequisite-level connection (small points).
exam_5 - 6(g)
1 p
Snippet: True/false item g) “Vid sampling av en tidskontinuerlig signal med bandbredd B Hz, så kan den samplade signalen rekonstrueras tillbaka om samplingsfrekvensen f_s är minst dubbelt så stor som B.” Connection: This is the sampling-theorem statement. Lesson 5.3 explicitly uses fs > 2B (Poisson / no-overlap condition) — directly answers this 1-point item.
exam_6 - 6
2 p
Snippet: “Systemet består av ett idealt lågpassfilter som föregås och efterföljs av multiplikation med (−1)^n. a) Rita det totala systemets frekvensfunktion H[Ω]. b) Vilken typ av frekvensselektivt filter utgör det totala systemet?” Connection: Multiplication by (−1)^n is a discrete-time frequency shift (π) that moves the spectrum before/after an LP. Lesson 5.3 focuses on spectrum replications from sampling and on how pulse/filter frequency responses (sinc/rect) weight the reconstructed spectrum — the same spectral-shifting and filtering reasoning is required to sketch the combined H[Ω]. The lesson provides the necessary spectral intuition (Poisson/copies and filter weighting), so it supplies useful direct help for part (a) and the filter-type argument in (b).

5.4 0p from connections

Ett rekonstruktionsfilter med frekvensfunktion H(ω) = T·sinc^2(ωT / 2π) används för att rekonstruera en tidsdiskret signal y[n] till den tidskontinuerliga signalen y(t) = Σ_{n=-∞}^…
Show full question
Ett rekonstruktionsfilter med frekvensfunktion H(ω) = T·sinc^2(ωT / 2π) används för att rekonstruera en tidsdiskret signal y[n] till den tidskontinuerliga signalen y(t) = Σ_{n=-∞}^{∞} y[n]·h(t - nT), dvs. genom pulsamplitudmodulering (PAM) med h(t) = 𝓕^{-1}{H(ω)} som pulsform/interpolationsfunktion. Den tidskontinuerliga representationen av y[n] är y(t). a) Rita rekonstruktionsfiltrets impulssvar h(t). b) Rita den rekonstruerade signalen y(t) för följande y[n]: (y[n] = 0 för n ≤ -2 och n > 5) [Diskret stapeldiagram med punkter: n = -2: 0, n=-1: 3, n=0: 4, n=1: 2, n=2: -2, n=3: 4, n=4: 1, n=5: 0] c) Beskriv i ord hur rekonstruktionen går till. Vilken typ av interpolation sker här? d) Vilken kausalitetsegenskap har rekonstruktionsfiltret? Hur kan man justera impulssvaret så filtret/systemet blir kausalt och hur påverkar det utsignalen y(t)?
Solution (notes)
a) H(ω) = T·sinc_N^2(ωT / 2π). Enligt formelsamlingen Tab.3:14 ⇒ h(t) = Δ(t / 2T) (triangelform med stöd ±T). b) Bild: y[n] plottad som diskreta staplar (värden vid n = -2,-1,0,1,...). y(t) = Σ_{n=-∞}^{∞} y[n]·h(t - nT), där y[n]·h(t - nT) är de olika "trianglarna" i grafen, skiftade till vänster. y(t) = summan av alla dessa trianglar ⇒ (ritad resultatkurva) c) PAM-rekonstruktion ⇒ skalade impulssvar y[n]·h(t - nT) med h(t) enligt a) placeras vid varje ursprunglig sampletidpunkt t = nT. Summan av dessa skalade impulssvar resulterar i en slags interpolation mellan samplevärdena. I det här fallet, med h(t) enligt ovan, sker en linjär interpolation mellan varje intilligande sampelpar. d) För ett kausalt system gäller att h(t)=0 för t<0, vilket inte gäller här. Rekonstruktionsfiltret är därför icke-kausalt. Genom att tidsförskjuta impuls svaret T sek åt höger erhålls ett kausalt system, dvs. ett system med impuls svar h̃(t)=h(t-T). Konsekvensen blir att utsignalen vid den kausala rekonstruktionen blir samma som ovan men fördröjd T sekunder: ỹ(t) = y(t-T).
Connections (4) est. points: 0
exam_1:6
6 p
Snippet (exam): "Betrakta nedanstående kaskadkopplade system, bestående av likformig sampling av x(t) följt av ... samt ideal rekonstruktion genom pulsamplitudmodulering (PAM). Insignalen x(t) är en sinc^2-funktion med ett frekvensspektrum ..." (uppg. 6a: rita frekvensspektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω)). Motivation: This exam question directly uses a sinc^2 spectrum, uniform sampling and ideal PAM reconstruction. The lesson shows H(ω)=T·sinc_N^2(...) ⇄ h(t)=triangular (Δ(t/2T)), explains that PAM reconstruction places scaled copies h(t−nT) (linear interpolation for this h), and describes causality/time-shift consequences. Knowing the lesson gives essentially the core tools to draw/identify X[Ω], the sampled-copy positions and the reconstructed Y(ω) and to explain the interpolation behavior — so it would cover most of part (a) (6 points) of the exam question.
exam_2:2
5 p
Snippet (exam): "Ett energifritt tidskontinuerligt LTI-system har frekvensfunktionen H(ω) = e^{j2ω} sinc(ω). a) Beräkna systemets utsignal y(t) då dess insignal är x(t)=e^{-t} u(t). b) Vilken kausalitetsegenskap har systemet?" (uppg. 2) Motivation: The exam uses a frequency-domain sinc leading to a time-domain rectangular pulse with a time shift (the solution obtains a rect shifted in time and shows non-causality). The lesson treats the inverse transform of sinc-like H(ω) (here sinc^2 → triangular, but the same transform/time-shift reasoning applies), convolution to get y(t), and discusses non-causality and how a time-shift makes the filter causal (with delayed output). Thus the lesson supplies the key transform-pair intuition and the causality/time-shift argument needed for parts (a)–(c). It does not cover the specific convolution algebra with e^{-t} in full detail, hence partial points (5).
exam_2:4
6 p
Snippet (exam): "Den tidskontinuerliga signalen x(t) = Δ( t / 2 ) samplas idealt med sampelfrekvensen f_s = 2 Hz ... x[n] är insignal till ett tidsdiskret energifritt LTI-system med impulssvar h[n] = 1/2 sinc_N(n/2) ... Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|." (uppg. 4) Motivation: This question combines a triangular time-domain signal Δ(t/2), sampling and a discrete-time system whose impulse response is a scaled sinc. The lesson gives the fundamental pair H(ω)=sinc^2 ↔ triangular h(t) and explains how the sampled values are reassembled via shifted/scaled impulse responses (linear interpolation for triangular kernels). That directly helps to form X[Ω], apply the discrete-time filter H[Ω], and sketch |Y(Ω)|. Knowing the lesson provides most of the spectral/interpretation steps for this problem, so a large share of points is justified (6).
exam_4:1
3 p
Snippet (exam): "Den periodiska signalen x(t) = { e^{-t}, 0≤t<1; x(t+1) } är insignal till ett RC-krets (LTI). Beräkna de komplexa fourierseriekoefficienterna Ď_n till utsignalen y(t)." (uppg. 1) Motivation: The exam requires computing output Fourier coefficients Ď_n = D_n·H(j n ω0). The lesson's emphasis on identifying H(ω) in closed form and understanding how a given H(ω) (especially sinc/triangular/shifted kernels) maps to time-domain impulse responses and interpolation/delay is relevant for computing and interpreting H(j n ω0) and thus Ď_n. This is a weaker but still useful connection (helps with the H(jω) evaluation and interpretation), so a modest point allocation (3).

5.5 0p from connections

Signalen x(t) = sinc_N(200 t) samplas med sampelperioden T = 4 ms och den samplade signalen x[n] = x(nT) representeras av den tidskontinuerliga signalen bar{x}(t) = x(t)·p_T(t), d…
Show full question
Signalen x(t) = sinc_N(200 t) samplas med sampelperioden T = 4 ms och den samplade signalen x[n] = x(nT) representeras av den tidskontinuerliga signalen bar{x}(t) = x(t)·p_T(t), där p_T(t) = Σ_{n=-∞}^{∞} p(t - nT) är given i grafen nedan: [P_T(t) visas som en periodisk rad av rektangulära pulser med bredd τ = 0.8 ms och höjd 1, period T = 4 ms] p(t) = rect(t/τ), där τ = 0.8 ms. Vid sampling med detta förfarande gäller att bar{X}(ω) = 𝓕{ bar{x}(t) } = Σ_{n=-∞}^{∞} D_n·X(ω - n ω_s), där D_n är de komplexa fourierseriekofficienterna för p_T(t). (Anm: Vid ideal sampling, då p(t) = δ(t), är D_n = 1/T ∀n.) a) Rita den samplade signalens principiella spektrum bar{X}(ω). Tips: Du erhåller enklast D_n utgående från en sampling av 𝓕{p(t)}, dvs. D_n = 1/T · P(n·ω_s). Det räcker här med att beräkna D_0 exakt och uppskatta ungefärliga värden för övriga D_n. b) Kan x(t) rekonstrueras från bar{x}(t)? Om ja – ange rekonstruktionsfiltrets frekvensfunktion H(ω).
Solution (notes)
Anm: Denna uppgift relaterar till videon "Praktisk Sampling och Rekonstruktion". a) x(t) = sinc_N(200 t) ⇒ enligt formelsaml. Tab.3:13 ⇒ X(ω) = 1/200 · rect(ω / 400π) (bandbredd ±200π rad/s) X̄(ω) = Σ D_n · X(ω - n·ωs) där ωs = 2π / T = 2π / 4·10^{-3} = 500π rad/s ⇒ X̄(ω) utgörs av en upprepning/periodicering av X(ω) med perioden ωs = 500π rad/s, vilket medför att de periodiska upprepningarna inte överlappar ⇒ ingen vikning. Dock så skalas varje upprepning med D_n = 1/T · P(ω)|_{ω=n·ωs} enligt uppgift, där P(ω) = ℱ{p(t)} = ℱ{rect(t/T)} = T·sinc_N(ωT / 2π) (formelsamling Tab.3:12), där T = 0.8·10^{-3} enligt uppgift. Tab.3:12 visar även utseendet på |P(ω)| (ritad parkerade p-peakserier). Eftersom P(ω) är reellvärd kan man sampla P(ω) direkt. D0 = 1/T · P(0) = 0.8·10^{-3} / 4·10^{-3} = 0.2 D1 = D_{-1} = 1/T · P(ωs) är lite mindre än 0.2 osv enligt graf för P(ω). Utgående från detta kan vi rita X̄(ω) (ritad staplad bandbild med olika amplituder för repeterade band). b) Ja, eftersom ingen vikning har inträffat vid samplingen kan y(t)=x(t) erhållas genom en ideal lågpassfiltrering Ψ(ω)=X̄(ω)·H(ω) med följande frekvensfunktion: H(ω) = 1/D0 för |ω| < ωp, där för filtret gränsvinkelfrekvens ωp gäller att 200π < ωp < 300π rad/s, så att filtret "skar ut" den skalade X(ω)-delen av X̄(ω) mellan -200π och +200π. T.ex. ωp = ωs/2 = 250π rad/s.
Connections (5) est. points: 0
exam_1, assignment 6
6 p
Snippet: "Uniform sampling of x(t) followed by multiplication of x[n] with (−1)^n, and ideal reconstruction through PAM. Samplingsfrekvens f_s = 8 kHz. Insignal x(t) is a sinc^2 with triangular bandlimited spectrum between −4 kHz and 4 kHz. a) Draw spectra X[Ω], Y[Ω] and Y(ω)." Connection: This is directly the same sampling/reconstruction reasoning as in lesson 5.5—periodic replication of X(ω) at multiples of ω_s, the effect of pulse-spectrum scaling on replica amplitudes, checking for aliasing (no overlap), and choosing the lowpass reconstructor to recover x(t). Knowing the lesson essentially gives the solution for part (a) (the 6‑point part): how to draw the replicated spectra and explain reconstruction. (Not identical because the exam also includes discrete modulation and a DFT subpart.)
exam_2, assignment 4
6 p
Snippet: "x(t)=Δ(t/2) sampled with f_s = 2 Hz → x[n]; x[n] passes through discrete LTI with h[n]=½·sinc_N(n/2). Draw |Y(Ω)|." Connection: Directly uses the same concepts: sampling produces a periodic repetition of X(ω) (scaled by 1/T), then the discrete-time filter H(Ω) (a sinc-type ideal bandlimit) multiplies that periodized spectrum. Lesson 5.5 covers computing the periodized spectrum X̄(ω), the role of P(ω)/D_n scaling from the sampling pulse, and ideal lowpass reconstruction—so it supplies the main steps needed to sketch |Y(Ω)|. (Exam differs in specific signals/parameters, so fewer than full points.)
exam_3, assignment 6
4 p
Snippet: "x(t)=75/(25 t^2 + 1) is sampled uniformly with f_s; since x(t) not strictly bandlimited, define essential bandwidth B and pick f_s and minimum DFT length N; then express X_d[Ω] and sketch |X_d[Ω]|." Connection: Lesson 5.5 covers the core sampling/frequency‑domain ideas—periodic replication of the spectrum, relation between continuous ω and discrete Ω, and conditions to avoid aliasing. That directly helps with part (b) (drawing X_d[Ω]) and the conceptual part of selecting f_s in (a). Part (a) also requires computing an 'essential' bandwidth and DFT sizing (extra numeric/design steps), so only partial points are assigned.
exam_6, assignment 6
2 p
Snippet: "System: multiply by (−1)^n, then ideal LP, then multiply by (−1)^n. a) Draw total frequency H[Ω]. b) What type of filter results?" Connection: While this is a discrete‑time modulation/shifting question (multiplication by (−1)^n shifts the spectrum by π), it is conceptually related to lesson 5.5 because both rely on time‑domain multiplication by periodic sequences causing frequency‑domain shifts/replications and on using ideal filters to select desired bands. The lesson gives the conceptual tools (multiplication ↔ spectral shifts/replicas and filtering for reconstruction), so it helps solve this exam question, though the setting (discrete modulation by (−1)^n) is different—hence a small point allocation.
exam_5, assignment 6 (item g)
1 p
Snippet: "g) Upon sampling a continuous signal with bandwidth B Hz, the sampled signal can be reconstructed if f_s is at least twice B." Connection: This is the sampling theorem stated directly. Lesson 5.5 applies the sampling theorem to determine that replicas do not overlap and to choose a reconstruction lowpass. This single true/false item is a very small but direct conceptual match, so a minimal point is assigned.

5.6 0p from connections

Den tidskontinuerliga signalen x(t) har en ändlig tidsutbredning på T = 10 ms enligt den principiella grafen nedan, vilket innebär att signalen har en ändlig bandbredd. Signalen h…
Show full question
Den tidskontinuerliga signalen x(t) har en ändlig tidsutbredning på T = 10 ms enligt den principiella grafen nedan, vilket innebär att signalen har en ändlig bandbredd. Signalen har dock en s.k. väsentlig bandbredd på B = 10 kHz, då den har 98% av sin signalenergi i frekvensområdet upp till 10 kHz. x(t) samplas med sampelperioden T_s, vilken ger den tidsdiskreta signalen x[n] = x(nT_s). Samplingsteoremet ska vara uppfyllt med avseende på den väsentliga bandbredden B ovan. Därefter utförs en diskret Fouriertransform (DFT) av x[n] i N0 = 2^b punkter med start i n = 0, dvs. N0 ska vara en 2-potens (så att DFT:n kan beräknas snabbt med en lämplig FFT-algoritm). DFT:ns frekvensupplösning f0 ska vara högst 50 Hz, dvs. f0 ≤ 50 Hz. Vilken är den minsta möjliga transformlängden N0 som gör att ovanstående villkor uppfylls?
Solution (notes)
I tidsdomänen gäller följande: 1) x(t) behöver samplas med en sampelfrekvens fs > 2B = 20 kHz för att samplingsteoremet ska vara uppfyllt. 2) Den N0-periodiska upprepningen av den inversa DFT:n får inte överlappa varandra, vilket motsvaras av att den T0-periodiska upprepningen av x(t) inte får överlappa varandra ⇒ T0 > 10 ms. 3) DFT:ns frekvensupplösning f0 är högst 50 Hz, dvs. f0 = 1/T0 ≤ 50 ⇒ T0 ≥ 1/50 = 20 ms ⇒ krav 2) är uppfyllt. I frekvensdomänen, för DFT:n gäller att fs = N0·f0 ⇒ N0 = fs / f0 > 20 000 / 50 = 400 ⇒ Välj N0 = 512 = 2^9. Kontroll: välj t.ex. fs = 25 kHz för att uppfylla 1): T0 = N0·T = N0 / fs = 512 / 25·10^3 = 20.48 ms > 2·10 ms ⇒ villkor 2) uppfyllt. f0 = fs / N0 = 25·10^3 / 512 ≈ 49 Hz < 50 Hz.
Connections (4) est. points: 0
exam_3 — assignment 6
6 p
Snippet: “Signalen x(t)=75/(25 t^2 + 1) samplas likformigt med sampelfrekvens f_s … Eftersom x(t) inte är bandbegränsad … låt signalens väsentliga bandbredd B vara där amplitudspektrumet når faktor 1/80 … a) Bestäm lämplig sampelfrekvens f_s och minsta transformlängd N (tvåpotens) … (5 p) b) Sätt upp uttryck för X_d[Ω] …” Motivation: This question asks exactly for choosing a sampling frequency from an (essential) bandwidth B and then choosing a DFT length N (power of two) so that the DFT frequency resolution and sampling conditions are satisfied. Lesson 5.6 addresses the same set of constraints: fs>2B, relation T0 = N0·T and f0 = 1/T0 (or f0 = fs/N0), and choosing minimal N0 (power of two) so that f0 ≤ required resolution and periodic time repetitions do not overlap. The exam solution uses the same calculations (compute B, enforce fs>2B, pick minimal power-of-two N so f0 ≤ target), so mastering 5.6 directly gives most of the points on this exam problem.
exam_5 — assignment 6
2 p
Snippet (from the exam question): "g) Vid sampling av en tidskontinuerlig signal med bandbredd B Hz, så kan den samplade signalen rekonstrueras tillbaka om samplingsfrekvensen f_s är minst dubbelt så stor som B. (1 p) h) DFT:n till en tidsdiskret signal x[n], som erhållits genom sampling av en tidskontinuerlig signal, har perioden f_s/N_0, där f_s är sampelfrekvensen och f_0 är DFT:ns frekvensupplösning. (1 p)" Motivation: These true/false items directly test the sampling theorem (fs>2B) and the DFT frequency-resolution/period relation (f0 = fs/N0 or relationships between f_s, N0 and f0/T0). Lesson 5.6 states and uses these exact relations. The exam question contains many other statements outside the lesson’s scope, so only a fraction of the total exam question’s points come directly from 5.6 (estimated 2/8 ≈ 2 points).
exam_1 — assignment 6
1 p
Snippet: “Betrakta nedanstående kaskadkopplade system, bestående av likformig sampling av x(t) följt av en multiplikation … Samplingsfrekvensen är f_s = 8 kHz. Insignalen x(t) är en sinc^2-funktion med ett frekvensspektrum … bandbegränsat mellan −4 kHz och 4 kHz … a) Rita frekvens­spektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω). … b) Låt X_r vara DFT:n av x[n] för −2 ≤ n ≤ 2, dvs. transformlängd N_0 = 5. Rita ungefärliga utseendet på X_r i minst intervallet −7 ≤ k ≤ 7.” Motivation: This problem practices the spectral repetitions caused by sampling and the effect of finite DFT length (small N0) on the sampled-spectrum/DFT samples — concepts used in 5.6 (relation between fs, signal bandwidth, and DFT length/resolution, and the risk of overlap/aliasing). It is not identical to 5.6, and only a small part of the exam question (sketching/intuition about periodic repetitions and small N0) maps directly, so assign a small point credit.
exam_2 — assignment 4
–
Snippet: “Den tidskontinuerliga signalen x(t)=Δ(t/2) samplas idealt med sampelfrekvensen f_s = 2 Hz … sampled signal x[n] … LTI-system h[n] = 1/2 sinc_N(n/2) … Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|. (8 p)” Motivation: This question involves uniform sampling and forming the discrete-time spectrum X[Ω], then multiplying by a discrete-time filter H[Ω] to get Y[Ω]. The lesson’s sampling/DFT relations (fs, mapping between continuous and discrete frequency, and the effect of sampling on spectra) are prerequisites to correctly sketching these spectra, but the exam focuses more on DTFT/filter multiplication and bandlimits rather than selecting fs/N0 or DFT resolution. Therefore the connection is useful as background (no direct points assigned).

5.7 0p from connections

Den tidskontinuerliga icke bandbegränsade signalen x(t) = e^{-t} u(t) samplas idealt och den samplade signalen x[n] = x(nT) representeras av den tidskontinuerliga signalen bar{x}(…
Show full question
Den tidskontinuerliga icke bandbegränsade signalen x(t) = e^{-t} u(t) samplas idealt och den samplade signalen x[n] = x(nT) representeras av den tidskontinuerliga signalen bar{x}(t) med Fouriertransform X̄(ω). Genom att sample X̄(ω) i N0 punkter under en period så erhålls en DFT, X_r = X̄(ω)|_{ω = r ω0}, samtidigt som det i tidsdomänen sker en N0-periodicering av x[n] som är ekvivalent med x_n = IDFT{X_r}. Sampelfrekvensen fs väljs så att samplingsteoremet är uppfyllt, baserat på signalens väsentliga bandbredd B, som kan definieras antingen enligt a) eller b) nedan. Bestäm, för både a) och b), lämpliga värden på transformlängden N0 och sampelperioden T. a) Den väsentliga bandbredden B Hz är sådan att |X(f)| ≤ |X(f)|_max / 100 för f ≥ B. b) Den väsentliga bandbredden B Hz är sådan att 99% av signalens energi finns i frekvensområdet f ≤ B. (Tips: Här menas fysikaliska, dvs. positiva, frekvenser. I matematisk synvinkel finns hälften av signalenergin vid positiva frekvenser och hälften vid negativa frekvenser.)
Solution (notes)
x(t) = e^{-t}·u(t) ⇒ x[n] = x(nT) = e^{-nT}·u[n] Formelsamling Tab.3:5 ⇒ X(ω) = 1 / (1 + jω) ⇒ |X(ω)| = 1 / √(1 + ω^2) (ritad |X(ω)| med bredband men avtagande) x(t) samples med sampelfrekvens fs > 2B a) Låt B vara den frekvens där |X(f=B)| = 1/100 · |X(f)|_{max}, dvs. 1 / √(1 + (2πB)^2) ≈ 1 / (2πB) = 1/100 ⇒ 2πB = 100 ⇒ B = 50 / π Hz ⇒ fs > 2B ≈ 31.83 Hz. Välj t.ex. fs = 32 Hz ⇒ T = 1/32 s. (ritad spektrum X̄(ω) med sampelrepeterade pikar) Spektrumet X̄(f) samples nu med sampefrekvensen T0 = 1 / f0 sample/Hz dvs. DFT:n Xr = X̄(r·f0), vilket medför att IDFT:n x_n utgör en N0-periodisk upprepning av X[n], där N0 = T0 / T vilket motsvarar en T0-periodisk upprepning av x(t). f0 väljs tillräckligt liten så att X̄(f) kan återskapas "tillräckligt" väl från Xr ⇔ N0 = T0 / T (där T0 = 1 / f0) väljs "tillräckligt" stor så att de N0-periodiska upprepningarna av x[n] endast överlappar marginellt ⇒ så att x_n ≈ X[n] (idealt: x_n = X[n] för 0 ≤ n < N0-1). Med samma kriterium som vid valet av fs (≤1/100 av max-amplitud för |X(f)| vid f=fs/2) får vi e^{-T0} < 1/100 ⇒ T0 > ln 100 ≈ 4.6 sek. Välj N0 = 512 = 2^9 ⇒ N0 = 32·8 = 256 = 2^8 i ett exempel för FFT-effektivitet. DFT-formler: Xr = Σ_{n=0}^{N0-1} x_n e^{-j r 2π n / N0} osv.
Connections (5) est. points: 0
exam_2 - assignment 6
6 p
Snippet: "Signalen x(t)=75/(25 t^2 + 1) samplas... eftersom x(t) inte är bandbegränsad... definierar essential bandbredd B som frekvens där amplitudspektrumet når 1/80 av max. a) Bestäm lämplig f_s och minsta transformlängd N (tvåpotens). b) Sätt upp uttryck för X_d[Ω] och rita |X_d[Ω]|." Connection: same design task as lesson 5.7 — estimate essential bandwidth from amplitude decay, choose f_s > 2B, pick DFT length N (power of two) to achieve frequency resolution, and write sampled/DFT spectral repetition. Lesson gives the exact method (threshold-based B, sampling theorem, relation between f_s and N0/T0 and DFT sampling), so knowing the lesson directly yields most of the solution steps.
exam_3 - assignment 6
6 p
Snippet: "Bestäm en lämplig sampelfrekvens f_s och en minsta transformlängd N... essential bandbredd B definieras som frekvens där amplitudspektrumet når 1/80 av max. ... använd DFT längd N (tvåpotens) med f_0 = f_s/N." Connection: identical methodology to lesson 5.7 — compute B from spectral decay ratio, require f_s > 2B, choose N as smallest power-of-two giving desired frequency resolution f_0 = f_s/N. Lesson works through the same computations (threshold → B → f_s → minimum N), so it supplies the core calculations and rationale.
exam_2 - assignment 2
6 p
Snippet: "H(ω) = e^{j2ω} sinc(ω). a) Beräkna y(t) då x(t)=e^{-t} u(t)." Connection: the lesson gives X(ω) for x(t)=e^{-t}u(t) as 1/(1 + jω) (Formelsamling Tab.3:5). To solve part (a) you multiply H(ω)·X(ω) and inverse-transform — the lesson supplies X(ω) and the frequency-domain approach used in the exam solution, so much of the work (spectral multiplication and inverse transform steps) follows directly from the lesson.
exam_1 - assignment 6
5 p
Snippet: "Likformig sampling av x(t) följt av multiplikation av x[n] med (−1)^n, samt ideal rekonstruktion. f_s = 8 kHz. a) Rita frekvens­spektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω). b) Låt X_r vara DFT:n av x[n] för −2 ≤ n ≤ 2 (N_0=5). Rita utseendet på X_r." Connection: lesson 5.7 covers the mapping from continuous X(ω) to sampled X̄(ω) (periodic replications), the relation between sampling frequency and spectral copies (and criteria to avoid/limit overlap), and how the DFT samples the DTFT (X_r = X̄(r·f_0)). That directly helps produce the spectra sketches and the DFT-sampling picture in part (b). The lesson does not cover the (−1)^n modulation detail (spectral shift by π), so not all points are covered — but most of the sampling/DFT reasoning is identical.
exam_4 - assignment 1
4 p
Snippet: "Den periodiska signalen x(t) = { e^{-t}, 0≤t<1; x(t+1) } är insignal till ett RC-krets. Beräkna komplexa fourierseriekoefficienter Ă_n till utsignalen y(t)." Connection: lesson gives the Fourier transform of e^{-t}u(t) as X(ω)=1/(1+jω) and shows the method of evaluating spectral samples at harmonics (X(j n ω0)) and multiplying by H(j n ω0) to get output Fourier-series coefficients. That frequency-domain procedure is precisely used in the exam solution; knowing the lesson yields the core spectral component X(j n ω0) needed to compute Ă_n (the rest is applying H(j n ω0) from the RC network).

5.8 0p from connections

Upprepa uppgift 5.7 a) och b), men för signalen X(t) = 2 / (t^2 + 1).
Show full question
Upprepa uppgift 5.7 a) och b), men för signalen X(t) = 2 / (t^2 + 1).
Solution (notes)
x(t) = 2 / (t^2 + 1) ⇒ X(ω) = 2π e^{-|ω|} Villkor: W = 2π B, fs > 2B a) Se resonemanget i lösningen till 5.7.a: Här: |X(W)| = 1/100 · |X(ω)|_{max} ⇒ 2π e^{-2π B} = 2π / 100 ⇒ e^{-2π B} = 1/100 ⇒ B = (ln 100) / 2π ≈ 0.7333 Hz ⇒ fs > 2B ⇒ välj T = 1 / fs < 1 / 2·0.733 ≈ 0.682 s. Val av N0 ⇒ välj f0 = 1 / T0; välj förslagsvis T0 så att X(T0) = 1/100 X(0) ⇒ 2 / (T0^2 + 1) = 2 / 100 ⇒ T0 ≈ √99 ≈ 9.95 ≈ 10 s. ⇒ N0 = T0 / T ≈ 10 / T (exempelvis välj N0 = 16 = 2^4 ⇒ T = T0 / N0 = 10 / 16 = 0.625 s) DFT: Xr = Σ_{n=0}^{N0-1} x_n e^{-j r 2π n / N0} with x_n = X(nT) = 2 / ((nT)^2 + 1) b) Energibetraktelse: E_x = 1 / 2π ∫ |X(ω)|^2 dω = 2π E_{99} = 0.99 E_x ⇒ 1 - e^{-2W} = 0.99 ⇒ W ≈ 2.303 rad/s ⇒ B = W / 2π ≈ 0.366 Hz ⇒ fs > 2B ≈ 0.733 Hz ⇒ T < 1 / 0.733 ≈ 1.36 s. Uppg. a) ⇒ T0 = 10 s ⇒ välj gärna N0 = 2^3 = 8 ⇒ T = T0 / N0 = 10 / 8 = 1.25 s. DFT:n: x_n = x(nT) = 2 / ((10/8 n)^2 + 1) = 2·2^7 / (100 n^2 + 2^6) och Xr = Σ_{n=0}^{N0-1} x_n e^{-j r 2π n / N0}.
Connections (4) est. points: 0
exam_3 - Q6
6 p
Snippet: “Signal x(t)=75/(25 t^2 + 1) sampled with f_s; define essential bandwith B where amplitude reaches 1/80 of max; choose suitable f_s and minimal DFT length N (power of two).” Connection: same problem type as lesson 5.8 — a Lorentzian/time-decaying rational signal with FT ∝ e^{-|ω|/a}. The lesson shows how to get X(ω)=const·e^{-|ω|}, solve e^{-2πB/scale}=threshold to find B, impose f_s>2B and pick N (power of two) to get desired frequency resolution, and write DFT samples. Knowing the lesson yields most of the method and numerical steps for this exam question (only constants/threshold differ).
exam_3 - Q1
4 p
Snippet: “h(t)=4/(4 + t^2) and x(t)=sin(t)/t. Compute signal energy E_y of output y(t).” Connection: lesson provides the transform pair for 2/(t^2+1) ↔ 2π e^{-|ω|} and shows energy calculation via Parseval (E = (1/2π) ∫ |X(ω)H(ω)|^2 dω). The exam uses an analogous Lorentzian impulse response (scale factor 2→4) and Parseval-based energy computation; the lesson directly supplies the technique and transform intuition needed to compute E_y.
exam_1 - Q6
2 p
Snippet: “Uniform sampling (f_s=8 kHz) of x(t) (sinc^2) → x[n]; a) draw X[Ω], Y[Ω], Y(ω). b) DFT X_r for −2≤n≤2 (N0=5).” Connection: lesson covers uniform sampling, relation between continuous X(ω) and discrete X[Ω], aliasing/periodic repetitions and the DFT sampling of discrete-time spectra, and choosing transform length/resolution. That background helps produce the sketches and to reason about copies and DFT sampling — gives partial credit on this question.
exam_2 - Q4
3 p
Snippet: “x(t)=Δ(t/2) sampled at f_s=2 Hz → x[n] fed to discrete LTI with h[n]=½ sinc_N(n/2); draw output amplitude spectrum |Y(Ω)|.” Connection: lesson's treatment of sampling, computing X[Ω] from X(ω), and multiplying by a discrete filter H[Ω] to get Y[Ω] directly matches this task. The lesson's steps for obtaining band-limited discrete spectra and plotting the product spectrum are directly applicable and would yield significant points.