Lesson 6 — Summary

6.1 0p from connections

Två kausala LTI-system med insignaler x(t) och utsignal y(t) beskrivs av de två differentialekvationerna nedan. a) d^2 y(t)/dt^2 + 3 dy(t)/dt + 2 y(t) = dx(t)/dt Beräkna systemet…

Show full question

Två kausala LTI-system med insignaler x(t) och utsignal y(t) beskrivs av de två differentialekvationerna nedan. a) d^2 y(t)/dt^2 + 3 dy(t)/dt + 2 y(t) = dx(t)/dt Beräkna systemets steg svar g(t). b) d^2 y(t)/dt^2 + 4 dy(t)/dt + 4 y(t) = dx(t)/dt + x(t) y(0^-) = 2, y'(0^-) = 1 Beräkna, för insignalen x(t) = e^{t} u(t), systemets totala utsignal y(t) = y_h(t) + y_ps(t) samt ange vilken del av utsignalen som är y_h(t) respektive y_ps(t).

Solution (notes)

g(t) = (u * h)(t) = L^{-1}{G(s)}, där G(s) = U(s)·H(s). Då U(s) = 1/s och H(s) = Y_{2s}(s)/X(s). Laplacetransformera differentialekvationens vänsterled och högerled. Den dubbelsidiga Laplacetransformen går alltid bra, men här är det även ok med den enkelsidiga eftersom LTI-systemet är kausalt samt att vi ändå betraktar ett energifritt system när H(s) ska beräknas. L_I{ d^2y(t)/dt^2 + 3 dy(t)/dt + 2 y(t) } = L_I{ d x(t)/dt }. Formelsamlingens Tab.4:10 ⇒ (s^2 + 3s + 2) Y_{2s}(s) = s·X(s). ⇒ H(s) = Y_{2s}(s)/X(s) = s/(s^2 + 3s + 2) = s/((s+1)(s+2)). ⇒ G(s) = 1/s · s/((s+1)(s+2)) = 1/((s+1)(s+2)). Partiellbråksuppdelning ⇒ 1/(s+1) - 1/(s+2). Formelsamling Tab.5:11 ⇒ g(t) = (e^{-t} - e^{-2t}) u(t). Kommentar: g(t) = (u*h)(t), dvs. vid beräkning av stegsvaret betraktas alltid ett energifritt tillstånd ⇒ y_{zi}(t)=0. b) Differentialekvations beskrivet kausalt LTI-system, dvs. h(t<0)=0, med x(t<0)=0 ⇒ y(t<0)=0. Använd den enkelsidiga Laplacetransformen: L_I{ d^2y/dt^2 + 4 dy/dt + 4 y } = L_I{ d x/dt + x(t) }. Formels. Tab.4:10 ⇒ (s^2 Y(s) - s y(0-) - y'(0-)) + 4(s Y(s) - y(0-)) + 4 Y(s) = (s·X(s) - X(0-)) + X(s). Med initialvillkor (=0) ⇒ (s^2 + 4s + 4) Y(s) - (2s + 9) = (s+1) X(s). ⇒ Y(s) = (2s + 9)/(s^2 + 4s + 4) + X(s)·(s+1)/(s^2 + 4s + 4) = Y_{zi}(s) + Y_{2s}(s), där Y_{2s}(s) = X(s)·H(s). Beräkna Y_{zi}(s) = (2s + 9)/(s+2)^2 = 2/(s+2) + 5/(s+2)^2 ⇒ med Tab.5:11 & 5:12 ⇒ y_{zi}(t) = 2 e^{-2t} u(t) + 5 t e^{-2t} u(t) = (2 + 5 t) e^{-2t} u(t). Y_{2s}(s) = X(s)·(s+1)/(s+2)^2 = 1/s · (s+1)/(s+2)^2 = 1/(s+2)^2 ⇒ y_{2s}(t) = t e^{-2t} u(t). Alltså y(t) = y_{zi}(t) + y_{2s}(t) = (2 + 5 t) e^{-2t} u(t) + t e^{-2t} u(t) = (2 + 6 t) e^{-2t} u(t).

Connections (5) est. points: 0

exam_6, assignment 1

6 p

Snippet: Differential equation d^2y/dt^2 + 2 dy/dt + y = dx/dt + x with x(t)=3 u(t) and initial values y(0-) and y'(0-). Solution computes H(s) via Laplace: (s^2+2s+1)Y_2s=(s+1)X ⇒ H(s)=(s+1)/(s+1)^2=1/(s+1), splits y=y_2s+y_ei, uses one-sided Laplace for zero‑input part and inverse transforms to get y(t). Connection: identical method — Laplace of differential equation, compute H(s), separate zero‑state/zero‑input, account for initial conditions, partial fractions and inverse Laplace to obtain y(t).

exam_5, assignment 1

5 p

Snippet: Differential equation d^2y/dt^2 + 5 dy/dt + 6 y = 5 dx/dt + 13 x. Tasks: (a) compute y(t) for x(t)=6 + √104 cos(2t); (b) compute step response g(t). Solution: Laplace-transform the DE, derive H(s)=(5s+13)/(s^2+5s+6), evaluate H(0) and H(j2) to find steady/phasor response, and compute G(s)=U(s)·H(s) with U(s)=1/s then inverse Laplace to get g(t). Connection: same techniques as lesson — Laplace of DE, obtain H(s), compute step response and steady‑state via transforms and inverse transforms.

exam_4, assignment 5

3 p

Snippet: Discrete-time signal‑flow with delays leads to H(z) = (1 - z^{-6})/(1 - z^{-1}) and request to compute step response g[n] via Z-transform or convolution; solution uses X(z)=1/z-1 etc., G(z)=U(z)H(z), partial fractions and inverse Z to get g[n]. Connection: conceptually the same workflow in discrete time — transform domain (Z instead of Laplace), multiply by U(s)/U(z), partial fraction/inversion to get step response; method and split into transform-domain algebra and inverse transform mirror the continuous‑time lesson.

exam_3, assignment 4

3 p

Snippet: Difference equation y[n] + 0.25 y[n-2] = 2 x[n] + x[n-1] with initial states y[-1]=0.5, y[-2]=-1. Tasks: (a) find H[z] and ROC; (b) compute zero-input response y_zi[n]. Solution forms (1+0.25 z^{-2})Y=(2+z^{-1})X, derives H(z) and then Y_zi(z) from initial conditions, inverts to time domain. Connection: same core idea as lesson's use of one‑sided transforms to include initial conditions and to obtain zero‑input (free) response — here in discrete Z domain, but method and reasoning (transform, isolate Y_zi, invert) are directly relevant.

exam_2, assignment 1

1 p

Snippet: Given non‑causal h1(t)=e^{a t} u_0(-t) and desired causal h2(t)=e^{a t} u(t), design cascade with H3(s); solution computes H3(s)=H2(s)/H1(s) and finds h3(t) via inverse Laplace (including use of transforms/tables). Connection: uses Laplace algebra and inverse transforms (tables) to get time-domain impulse responses — relates to computing H(s) and inverse Laplace steps in the lesson (weaker connection, no initial‑value/zero‑input split).

6.2 0p from connections

Bestäm systemfunktionen H(s) för de två differentialekvationbeskrivna kausala LTI-systemen nedan, med insignalen x(t) och utsignal y(t). Du behöver inte ange konvergensområdet för …

Show full question

Bestäm systemfunktionen H(s) för de två differentialekvationbeskrivna kausala LTI-systemen nedan, med insignalen x(t) och utsignal y(t). Du behöver inte ange konvergensområdet för H(s). a) (D^3 + 6 D^2 - 11 D + 6) y(t) = (3 D^2 + 7 D + 5) x(t) b) (D^4 + ? D) y(t) = (3 D + 2) x(t) (Obs: i bilden var del b skrivet som (D^4 + ? D) y(t) = (3D + 2)x(t). Saknade koefficienter bör tolkas enligt kontext i uppgiften.)

Solution (notes)

H(s) := Y_{2s}(s)/X(s). Vi kan använda antingen den dubbelsidiga Laplacetransformen på differentialekvationen eller, eftersom LTI-systemet är kausalt, den enkelsidiga Laplacetransformen med inititialtillstånden = 0. Formelsamlingens Tab.4:10 ⇒ L_I{D^n y(t)} = s^n Y(s). (a) L_I{ (D^3 + 6 D^2 - 11 D + 6) y(t) } = L_I{ (3 D^2 + 7 D + 5) x(t) } ⇒ (s^3 + 6 s^2 - 11 s + 6) Y_{2s}(s) = (3 s^2 + 7 s + 5) X(s) ⇒ H(s) = Y_{2s}(s)/X(s) = (3 s^2 + 7 s + 5)/(s^3 + 6 s^2 - 11 s + 6). (b) L_I{ (D^4 + 4 D) y(t)} = - L_I{ (3 D + 2) x(t) } ⇒ (s^4 + 4 s) Y_{2s}(s) = (3 s + 2) X(s) ⇒ H(s) := Y_{2s}(s)/X(s) = (3 s + 2)/(s (s^3 + 4)).

Connections (5) est. points: 0

exam_5 assignment 1

4 p

Direkt användning av Laplace på en ordinär differentialekvation för att få systemfunktionen H(s). Detta är samma grundprocedur som i uppgift 6.2 (Laplace av d^n y/dt^n ⇒ s^n Y(s)). Snippett från lösningen: “(s^2 + 5s + 6) Y(s) = (5s + 13) X(s) ⇒ H(s) = (5s + 13)/(s^2 + 5s + 6)”. (Examensuppgiften kräver även utvärdering av H(jω) för att bestämma utsignalen — ett vidare steg ovanpå lektionens huvuddel.)

exam_6 assignment 1

6 p

Mycket nära match: här tas Laplace av en 2:a ordningens differentialekvation för att få H(s) och sedan används invers Laplace för y(t). Lektionens metod (enkel-/dubbelsidig Laplace och s^n Y(s)) är precis det som används. Snippett från lösningen: “(s^2 + 2s + 1) Y_{2s}(s) = (s + 1) X(s) ⇒ H(s) = Y_{2s}(s)/X(s) = (s+1)/(s+1)^2 = 1/(s+1)”. (I tentan hanteras dessutom icke‑noll initialtillstånd och splittring i zero‑state/zero‑input, en extra del jämfört med lektionens noll‑initialexempel.)

exam_3 assignment 4

2 p

Analogt koncept i diskret tid: använda Z‑transformen på en differensekvation för att få systemfunktionen H(z). Lektionens idé (transformera differential/differensekvation → algebraisk H) är samma. Snippett från lösningen: “(1 + 0.25 z^{-2}) Y(z) = (2 + z^{-1}) X(z) ⇒ H(z) = (2 + z^{-1})/(1 + 0.25 z^{-2})”.

exam_6 assignment 4

2 p

Kaskadkoppling och bestämning av total impulssvar h[n] via transformmetod eller tidsdomänsfaltning. Lektionens fokus på att gå från differential/differensekvation till H och därefter till impulssvar/utgång är nära besläktat (här i diskret domän). Snippett från lösningen: “H1[z]=1/(z-0.5) ⇒ h1[n]=0.5^{n-1}u[n-1]; H2[z]=1/(z-0.8) ⇒ h2[n]=0.8^{n-1}u[n-1]; h[n]=(h1*h2)[n] = …”.

exam_2 assignment 1

2 p

Algebra i Laplace‑/transformdomänen för att få en delsystems överföringsfunktion utifrån andra. Lektionens manipulering av Laplace‑transformerade uttryck för att isolera H(s) är användbar här. Snippett från lösningen: “H2(s)=H1(s)H3(s) ⇒ H3(s)=H2(s)/H1(s) … ger h3(t)= -δ(t) + 2a e^{-a t} u(t).”

6.3 0p from connections

Två LTI-system med insignalen x(t) och utsignal y(t) har systemfunktion H(s) enligt a) och b) nedan. Bestäm den systembeskrivande differentialekvationen för respektive system. a) …

Show full question

Två LTI-system med insignalen x(t) och utsignal y(t) har systemfunktion H(s) enligt a) och b) nedan. Bestäm den systembeskrivande differentialekvationen för respektive system. a) H(s) = (s + 5) / (s^2 + 3 s + 8) b) H(s) = (s^2 + 3 s + 5) / (s^3 + 8 s^2 + 5 s + 7)

Solution (notes)

H(s) = (s + 5)/(s^2 + 3 s + 8) = Y(s)/X(s). ⇒ s^2 Y(s) + 3 s Y(s) + 8 Y(s) = s X(s) + 5 X(s). Formelsamling Tab.4:10 ⇒ d^2 y/dt^2 + 3 dy/dt + 8 y(t) = d x/dt + 5 x(t). b) H(s) = (-s^2 + 3 s + 5)/(s^3 + 8 s^2 + 5 s + 7) = Y(s)/X(s) ⇒ s^3 Y + 8 s^2 Y + 5 s Y + 7 Y = s^2 X + 3 s X + 5 X ⇒ enligt Tab.4:10 ⇒ (D^3 + 8 D^2 + 5 D + 7) y(t) = (D^2 + 3 D + 5) x(t).

Connections (3) est. points: 0

exam_5_q1

3 p

Snippet: "(d^2 y)/(dt^2) + 5 (dy)/(dt) + 6 y(t) = 5 (dx)/(dt) + 13 x(t). Solution: H(s) = (5s + 13)/(s^2 + 5s + 6)." Motivation: The lesson shows exactly how to convert a rational H(s) into the corresponding differential operator (and vice versa). Knowing the lesson directly yields the mapping (s^n ↔ D^n) used to get H(s) from the ODE (and to form the time-domain equation from H(s)). The exam then continues to use this H(s) to compute steady-state responses, which require additional steps (evaluation at s=jω, magnitude/phase), so I award partial credit (3/8).

exam_6_q1

3 p

Snippet: "d^2 y/dt^2 + 2 dy/dt + y = dx1/dt + x1(t). → Solution: H(s) = (s+1)/(s+1)^2 = 1/(s+1). y(t) computed via splitting zero-state / zero-input and inverse Laplace." Motivation: Very close conceptually — the core step is converting between the differential equation and H(s) (and back) and then using Laplace inverse to find y(t). The lesson examples give exactly this conversion and operator notation (D^n), so it directly helps obtain H(s) and set up the Laplace solution; computing zero-input/initial-condition contributions requires extra transform work, so partial credit (3/8).

exam_2_q1

2 p

Snippet: "Given h1(t)=e^{a t} u0(-t), want h3(t) so cascade gives h2(t)=e^{a t} u(t). Solution: H3(s)=H2(s)/H1(s) and h3(t) = -δ(t) + 2a e^{-a t} u(t)." Motivation: This question requires algebraic manipulation of H(s) and inverse Laplace to get time-domain impulse responses (including delta terms). The lesson's mapping between polynomials in s and differential operators / time-domain terms is relevant and helpful for interpreting such terms, but the exam focuses more on H(s)-algebra and inverse Laplace rather than forming ODEs, so I give modest credit (2/8).

6.4 0p from connections

Ett stabilt energifritt LTI-system har systemfunktion H(s) = (2 s + 3) / (s^2 + 2 s + 5). Beräkna utsignalerna y_a(t) respektive y_b(t) för följande insignaler x(t): a) x_a(t) = …

Show full question

Ett stabilt energifritt LTI-system har systemfunktion H(s) = (2 s + 3) / (s^2 + 2 s + 5). Beräkna utsignalerna y_a(t) respektive y_b(t) för följande insignaler x(t): a) x_a(t) = 10 u(t) b) x_b(t) = u(t - 5)

Solution (notes)

Energifritt LTI-system ⇒ y_{zi}(t)=0 ⇒ y(t)=y_{2s}(t) = (x * h)(t) ⇒ Y_{a,b}(s) = X_{a,b}(s)·H(s). (a) X_a(s) = L{ x_a(t) } = 10/5 = 10/5? (formels. Tab.5:3) Re{s}>0 ⇒ ψ_{a}(s) = 10/5 · (2 s + 3)/(s^2 + 2 s + 5) = A/s + (B s + C)/(s^2 + 2 s + 5). Beräkning ger A=6, B=-6, C=8 ⇒ ψ_a(s) = 6/s + (-6 s + 8)/( (s+1)^2 + 2^2 ). Invertera och med Tab.5:3, 5:20 & 5:21 ⇒ y_a(t) = 6 u(t) - 6 e^{-t} cos(2 t) u(t) + 7 e^{-t} sin(2 t) u(t) = (6 - e^{-t} (6 cos(2 t) - 7 sin(2 t))) u(t). (b) x_b(t) = u(t-5) = 1/10 x_a(t-5). Eftersom systemet är linjärt och tidsinvariant kan vi erhålla y_b(t) från a): y_b(t) = 1/10 · y_a(t-5) = 0.1·(6 - e^{-(t-5)} (6 cos(2(t-5)) - 7 sin(2(t-5)))) u(t-5).

Connections (4) est. points: 0

exam_1 - assignment 3

6 p

Direct match to the methods used in the lesson: exam question 3 is an "energifritt" continuous LTI-system with h(t)=3 e^{-2t} u(t) and asks (b) for the output y_b(t) given X_b(ω)=2/(3−jω) — solved both (i) in frequency domain and (ii) in time domain. Snippet: "h(t)=3 e^{−2t} u(t). ... b) Bestäm systemets utsignal y_b(t då spektrumet ... X_b(ω)=2/(3−jω). i) Genom beräkningar i frekvensdomänen. ii) Genom beräkningar i tidsdomänen." Knowing lesson 6.4 (Y = X·H, use H(s)=Laplace{h}, multiply spectra, partial fractions and inverse transform; use time-shift/scaling for time-domain) directly gives the core steps for both subparts — this corresponds to the two 3‑point subquestions (≈6 points).

exam_3 - assignment 3

5 p

Strong overlap: exam 3 deals with an energy-free LTI system h(t)=δ(t)+2 e^{−3t} u(t) and asks to compute y(t) for (a) x(t)=4 cos(2t) and (b) x(t)=e^{2t} u_0(2−t). Snippet: "h(t)=δ(t)+2 e^{−3t} u(t). a) x(t)=4 cos(2t) (3 p). b) x(t)=e^{2t} u_0(2−t) (5 p)." Lesson 6.4 teaches using H(s)/H(jω) to get sinusoidal steady‑state (multiply spectrum / evaluate H at jω) and convolution/partial fractions + inverse Laplace for time‑limited exponentials. That covers essentially all of (a) and gives large part of (b); remaining parts in (b) require splitting integrals / piecewise evaluation, so I award 5 points (not full 8).

exam_2 - assignment 2

5 p

Close relation: exam 2 gives an energy‑free LTI system with H(ω)=e^{j2ω} sinc(ω) and asks (a) to compute y(t) for x(t)=e^{−t} u(t) (7 p). Snippet: "H(ω)=e^{j2ω} sinc(ω). a) Beräkna systemets utsignal y(t) då dess insignal är x(t)=e^{−t} u(t)." Lesson 6.4's use of Y=X·H in frequency/Laplace domain, handling of phase term e^{j2ω} (time shift) and inversion via partial fractions/known transform pairs directly addresses the main technique for this problem. Some additional transform knowledge about sinc/rect pairs is needed, so I assign 5 points.

exam_4 - assignment 1

4 p

Related by the same spectral-multiplication principle: exam 4 asks for Fourier‑series coefficients of the output of an RC LTI system driven by a periodic x(t), using Ď_n = D_n · H(j n ω0). Snippet: "Beräkna de komplexa fourierseriekoefficienterna Ă_n till utsignalen y(t). ... H(j n ω0) = j·2π n /(1 + j 2π n) … Ď_n = D_n · H(j n ω0)." Lesson 6.4 explicitly states Y = X·H and demonstrates computing X(s), partial fractions and inversion; that directly helps computing Ď_n (multiplying coefficients by H at harmonic frequencies). This solves a substantial part of the exam task (but computing D_n still requires separate integration), so assign 4 points.

6.5 0p from connections

Ett kausalt energifritt LTI-system har systemfunktion H(s) = s / (s^2 + 9). Beräkna systemets utsignal då insignalen är x(t) = (1 - e^{-t}) u(t).

Show full question

Ett kausalt energifritt LTI-system har systemfunktion H(s) = s / (s^2 + 9). Beräkna systemets utsignal då insignalen är x(t) = (1 - e^{-t}) u(t).

Solution (notes)

Energifritt system ⇒ y_{zi}(t)=0 ⇒ y(t)=y_{2s}(t)=(x*h)(t) ⇒ Y(s)=X(s) H(s). Där X(s)=1/s - 1/(s+1) = 1/(s(s+1)) (Tab.5:3 & 5:11) med konvergensområde Re{s}>0. ⇒ Y(s) = 1/(s(s+1)) · s/(s^2 + 9) = 1/s · 1/(s+1) · s/(s^2 + 9) = partialbråksuppdelning ⇒ = 1/10 (1/(s+1) - s/(s^2 + 3^2) + 1/3 · 3/(s^2 + 3^2)). Använd Tab.5:11, 5:18 & 5:19 ⇒ y(t) = 1/10 (e^{-t} - cos(3 t) + (1/3) sin(3 t)) u(t).

Connections (5) est. points: 0

exam_1 — uppgift 3, del b) ii)

3 p

Direct/strong match: the exam asks for the system output via frequency-domain multiplication/inverse transform. Lesson shows Y(s)=X(s)H(s), partial-fraction expansion and inverse Laplace to get y(t). Snippet: "h(t)=3 e^{−2t} u(t). ... Bestäm systemets utsignal y_b(t) ... ii) Genom beräkningar i frekvensdomänen." Solution: "Y_b(ω)=X_b(ω)·H(ω) ⇒ ... ⇒ y_b(t)=6/5 (e^{3t} u(−t) + e^{−2t} u(t))."

exam_6 — uppgift 1

4 p

Very related: requires forming H(s), computing Y(s)=X(s)H(s) for a step input, partial-fraction decomposition and inverse Laplace to get y_{2s}(t); solution also combines zero-input response. Knowing the lesson (computing Y(s) and doing partial fractions/inverse transform) yields the bulk of the y_{2s} work. Snippet: "(s^2+2s+1) Y_{2s}(s) = (s+1) X(s) ⇒ H(s)=1/(s+1); X(s)=3/s ⇒ Y_{2s}(s)=3/s·1/(s+1) ⇒ y_{2s}(t)=3(1−e^{−t})" (solution then adds zero-input part).

exam_5 — uppgift 1 a)

3 p

Closely related: you must derive H(s) from a differential equation, evaluate H(0) and H(jω0) and use them to form the steady-state output for constant+cosine inputs. The lesson's Laplace/partial-fraction and use of transform tables directly supports the algebra and inversion/interpretation steps. Snippet: "(d^2 y)/(dt^2)+5(dy)/(dt)+6y = 5(dx)/(dt)+13x ⇒ H(s)=(5s+13)/(s^2+5s+6). Use H(0) and H(j2) to compute y(t)."

exam_2 — uppgift 2

–

Weaker but relevant: also computes output by multiplying X(ω) and H(ω) and inverse transforming to time domain. Method (frequency-domain multiplication and inverse transform / use of transform pairs) matches the lesson, though here the problem uses Fourier-domain sinc-based H(ω) rather than Laplace partial fraction inversion. Snippet: "H(ω)=e^{j2ω} sinc(ω/π). a) Beräkna y(t) då x(t)=e^{−t} u(t)."

exam_3 — uppgift 3 a)

–

Related foundational skill: computing output to a sinusoidal input by evaluating H(jω) (magnitude and phase) and forming y(t)=A|H(jω0)|cos(ω0 t + arg H(jω0)). Lesson covers transform multiplication and inverse transform which underpins this calculation. Snippet: "h(t)=δ(t)+2 e^{−3t} u(t). a) x(t)=4 cos(2t) ⇒ y(t)=4 |H(j2)| cos(2t + arg H(j2))."

6.6 0p from connections

Ett antal kausala LTI-system beskrivs nedan i a) med deras respektive systemfunktion ii b) med deras respektive differentialekvation, där x(t) är systemets insignal och y(t) är …

Show full question

Ett antal kausala LTI-system beskrivs nedan i a) med deras respektive systemfunktion ii b) med deras respektive differentialekvation, där x(t) är systemets insignal och y(t) är dess utsignal. Ange, för varje system, dess stabilitetsegenskap. a) (i) H(s) = (s + 5) / (s^2 + 3 s + 2) (ii) H(s) = (s + 5) / (s^2 (s + 2)) (iii) H(s) = s (s + 2) / (s + 5) (iv) H(s) = (s + 5) / (s (s + 2)) (v) H(s) = (s + 5) / (s^2 - 2 s + 3) b) (i) (D^2 + 3 D + 2) y(t) = (D + 3) x(t) (ii) (D^2 + 3 D + 2) y(t) = (D + 1) x(t) (iii) (D^2 + D - 2) y(t) = (D - 1) x(t) (iv) (D^2 - 3 D + 2) y(t) = (D - 1) x(t)

Solution (notes)

Alla system i uppgiften är kausala ⇒ Konvergensområdet för H(s) är Re{s} > σ_0 där σ_0 är realdelen av den pol i H(s) som ligger längst till höger i s-planet. (a)(i) H(s) = (s + 5)/(s^2 + 3 s + 2) = (s+5)/((s+1)(s+2)), Re{s} > -1 ⇒ jw-axeln ligger i konv.omr. ⇒ Stabilt system. (ii) H(s) = (s + 5)/s^2 (s+2), Re{s} > 0 ⇒ jw-axeln är rand till konv.omr. men dubbelpol på jw-axeln ⇒ Instabilt system. (iii) H(s) = s(s+2)/(s+5), Re{s} > -5 ⇒ jw-axeln i konv.omr. och systemet är stabilt, men fler nollställen än poler ⇒ systemet ej stabilt (orsakar marginal/instabilitet beroende på nollställen). (Notering: ett nollställe fler än antal poler => marginellt stabilt?) (iv) H(s) = (s+5)/(s(s+2)), Re{s} > 0 ⇒ jw-axeln utgör rand till konv.omr och det finns en enkelpol på jw-axeln ⇒ systemet är marginellt stabilt. (v) H(s) = (s+5)/(s^2 - 2 s + 3) ⇒ har ett polpar i s = 1 ± j√2 och Re{s} > 1 ⇒ jw-axeln ligger inte i konv.omr ⇒ Instabilt system. b) (i) (D^2 + 3 D + 2) y(t) = (D + 3) x(t) ⇒ (s^2 + 3 s + 2) Y(s) = (s + 3) X(s) ⇒ H(s) = (s + 3)/((s+1)(s+2)), Re{s} > -1 ⇒ jw-axeln ligger i konv.omr ⇒ Stabilt system. (ii) (D^2 + 3 D + 2) y(t) = (D + 1) x(t) ⇒ (s^2 + 3 s + 2) Y(s) = (s + 1) X(s) ⇒ H(s) = (s + 1)/((s+1)(s+2)) = 1/(s+2), Re{s} > -2 ⇒ jw-axeln i konv.omr ⇒ Stabilt system. (iii) (D^2 + D - 2) y(t) = (D - 1) x(t) ⇒ (s^2 + s - 2) Y(s) = (s - 1) X(s) ⇒ H(s) = (s - 1)/((s - 1)(s + 2)) = 1/(s+2), Re{s} > -2 ⇒ Stabilt system. (iv) (D^2 - 3 D + 2) y(t) = (D - 1) x(t) ⇒ (s^2 - 3 s + 2) Y(s) = (s - 1) X(s) ⇒ H(s) = (s - 1)/((s - 1)(s - 2)) = 1/(s - 2), Re{s} > 2 ⇒ jw-axeln ligger inte i konv.omr ⇒ Instabilt system.

Connections (5) est. points: 0

exam_6 assignment 1

5 p

Very close: both ask for H(s), the ROC (konvergensområde) and stability classification from the differential equation/H(s). Snippet: "Bestäm LTI-systemets systemfunktion H(s) (inklusive konvergensområde!) samt utsignalen y(t) for t ≥ 0." The lesson (6.6) teaches how to get H(s) from differential operators, determine ROC (Re{s} > σ0 from rightmost pole) and judge stability/marginal stability — these steps directly give most of this exam question. Extra steps on the exam (zero-input response from given initial conditions and combining with zero-state) are additional concepts not covered in full in the lesson, hence 5/8.

exam_5 assignment 1

4 p

Strong relation: convert ODE to H(s), find H(0) and H(jω) and compute steady-state output and step response. Snippet: "(d^2 y)/(dt^2) + 5 (dy)/dt + 6 y = 5 (dx)/dt + 13 x. a) Beräkna systemets utsignal då insignalen är x(t)=6 + √104·cos(2t). b) Beräkna systemets stegsvar g(t)." Lesson 6.6 b) shows operator→H(s) conversion and ROC/stability classification which directly supplies the main prerequisite; computing amplitudes/phases and inverse transforms for output/step requires additional algebra and partial-fraction work beyond the lesson, so 4/8.

exam_4 assignment 3

3 p

Related by stability/Pole-location reasoning. Snippet: "Härled ett allmänt uttryck för H_tot(s) som funktion av H1(s) och H2(s). Ange kausalitetsegenskap och vilket krav på H_tot(s) för stabilitet." Lesson 6.6 states how ROC relates to rightmost pole and uses pole locations to judge (in)stability for causal systems — this provides the fundamental tool to answer the stability parts. Deriving the feedback formula H1/(1+H1H2) and evaluating particular K-cases requires control/feedback algebra beyond the scope of the lesson, so 3/8.

exam_4 assignment 2

4 p

Directly connected: uses pole-zero diagram to find K and coefficients and then uses pol-zero vectors to get steady-state response. Snippet: "Pol-nollställediagrammet för H(s)=K·(s^2+b1 s + b2)/(s^2+a1 s + a2). Systemet förstärker konstanta insignaler med faktor 9. a) Bestäm K, b1,b2,a1,a2. b) Beräkna y(t) för x(t)=2+cos(t) using pol-nollställevektorer." Lesson 6.6 covers reading poles/zeros, ROC, and judging stability from pole positions — exactly the core needed to interpret the diagram and compute DC gain and frequency response at ω=1. Remaining steps (vector-multiplication method) are standard but built on the lesson, so 4/8.

exam_3 assignment 2

4 p

Close relation: find full pole-zero diagram, ROC and sketch |H(ω)| and arg H(ω) using pole-zero vectors. Snippet: "Rita det fullständiga pol-nollställediagrammet för H(s). (Dvs. även nivåkonstant och konvergensområde ska anges.) b) Skissera |H(ω)| och arg H(ω) utgående från pol- och nollställevektorer i pol-nollställediagrammet för H(s)." Lesson 6.6 teaches how to determine ROC for causal systems (Re{s} > rightmost pole) and how pole locations determine stability and effect on jw-axis — this directly gives the main tool to answer both parts. Some circuit-specific algebra to get the exact H(s) coefficients is additional, so 4/8.

6.7 0p from connections

Det elektriska nätet nedan utgör ett LTI-system med spänningskällan x(t) som insignal och spänningen y(t) över den högra resistansen som utsignal. (Krets: vänster gren: källa x(t) …

Show full question

Det elektriska nätet nedan utgör ett LTI-system med spänningskällan x(t) som insignal och spänningen y(t) över den högra resistansen som utsignal. (Krets: vänster gren: källa x(t) i serie med R=12Ω över en nod, parallell till jord en kondensator C=1F; från noden vidare serie L=1H och på höger nod till jord R=12Ω med y(t) över den resistansen.) - Bestäm systemets systemfunktion H(s). - Bestäm den systembeskrivande differentialekvationen. - Beräkna utsignalen y(t) för insignalen x(t) = t e^{-t} u(t) när systemet är energifritt.

Solution (notes)

Rita operatorschema: fås ett kretsanalysresultat med impedans Z_s = 1/s · (s+1) / (1/s + (s+1)) = (s+1)/(s^2 + s + 1). Spänningsdelning leder till Y(s) = V_c(s) · 1/(s+1) där V_c(s) = X(s) · Z_s/(1 + Z_s) = X(s) · (s+1)/(s^2 + 2 s + 2). Slutligen Y(s) = X(s) · (s+1)/(s^2 + 2 s + 2) · 1/(s+1) = X(s)/(s^2 + 2 s + 2) ⇒ H(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s^2 + 2 s + 2). Ekvivalenta differentialekvationen: d^2 y/dt^2 + 2 dy/dt + 2 y(t) = x(t). Givet x(t) = t e^{-t} u(t) ⇒ X(s) = 1/(s+1)^2, Re{s} > -1 ⇒ Y(s) = X(s) H(s) = 1/(s+1)^2 · 1/(s^2 + 2 s + 2) = 1/(s+1)^2 - 1/((s+1)^2 + 1^2) ⇒ Tab.4.1-6 & 4.1-9b ger y(t) = t e^{-t} u(t) - e^{-t} sin(t) u(t) = e^{-t} (t - sin t) u(t) = y_{2s}(t).

Connections (4) est. points: 0

exam_6, assignment 1

5 p

Snippet: Problem asks for H(s) and y(t) for the differential equation d^2y/dt^2 + 2 dy/dt + y = dx1/dt + x1(t) with x1(t)=3 u(t). Solution obtains H(s) via Laplace and computes Y(s)=X(s)H(s), splits zero-state/zero-input and performs inverse Laplace to get y(t) = (3 - (4 + t) e^{-t}) u(t). Why connected: The lesson (6.7) shows deriving a circuit H(s), forming the differential equation and computing Y(s)=X(s)H(s) for inputs like t e^{-t} u(t), then performing partial fractions / table inverses (terms like t e^{-t}, e^{-t} sin t). Those are the same core Laplace techniques used in this exam question (derive H(s) from ODE, multiply by X(s), inverse Laplace + handle transient). A student who masters 6.7 would be able to do a large part of this exam problem (H(s), Y_{zs}(s) and much of the inverse transform); remaining work on initial-condition (zero-input) terms is additional. Estimated points: 5/8.

exam_5, assignment 1

3 p

Snippet: Differential equation (d^2y/dt^2) + 5 dy/dt + 6 y = 5 dx/dt + 13 x(t). Task: compute system output for x(t)=6 + √104 cos(2t) and compute step response g(t). Solution forms H(s) = (5s+13)/(s^2+5s+6), uses Laplace/steady-state phasor for the cosine and inverse Laplace for step response. Why connected: Lesson 6.7 trains converting circuit results into H(s), forming the equivalent ODE and using Laplace-domain multiplication X(s)·H(s) and inverse transforms to get y(t) (including handling sinusoidal steady-state and step response). Those are precisely the methods used here. It doesn’t cover every algebraic detail (different coefficients), so I assign a partial credit estimate of 3/8.

exam_3, assignment 3

–

Snippet: h(t)=δ(t)+2 e^{-3t} u(t). (a) Compute y(t) for x(t)=4 cos(2t) (b) for x(t)=e^{2t} u0(2−t). Solution computes H(jω)=1+2/(3+jω) and uses |H(j2)| and arg H(j2) for part (a); performs convolution / Laplace inversion for part (b). Why connected (prerequisite): Lesson 6.7 practices computing Y(s)=X(s)H(s) and performing inverse Laplace / using transform table entries (exponentials, sinusoids, t·e^{-t}). Those transform-domain and inverse-transform techniques are fundamental to solving this exam question. Because the exam focuses on different specific h(t) and inputs, the lesson is a necessary prerequisite (but does not by itself solve the full problem), so no direct exam points are assigned here.

exam_2, assignment 1

–

Snippet: Given non-causal h1(t)=e^{a t} u_0(−t) and desired causal h2(t)=e^{a t} u(t); design cascade with H3; solution finds H3(s) and h3(t)=−δ(t)+2a e^{−a t} u(t). Why connected (prerequisite): The solution manipulates Laplace-domain representations, uses transform pairs (δ and exponentials) and separates causal/anti-causal parts — techniques very close to those used in lesson 6.7 (forming H(s), partial-fraction/inverse-Laplace with exponentials). Mastery of 6.7 gives the transform/inversion skills needed for this construction, but it’s a different design task, so points are not assigned.

6.8 0p from connections

Figuren nedan visar två s.k. resistanssteg, som har samma systemfunktion H(s) = H_1(s) = H_2(s) = 1/2 när man inte kopplar samman kretsdelarna/delsystemen enligt de streckade linje…

Show full question

Figuren nedan visar två s.k. resistanssteg, som har samma systemfunktion H(s) = H_1(s) = H_2(s) = 1/2 när man inte kopplar samman kretsdelarna/delsystemen enligt de streckade linjerna mellan noderna. a) Systemen kaskadkopplas nu (enligt de streckade linjerna mellan noderna), så att x_2(t) = y_1(t). - Beräkna det kaskadkopplade systemets totala systemfunktion H_tot(s). - Är H_tot(s) = H_1(s) · H_2(s)? Förklara! b) Byt ut båda resistorerna i system 2 från 1Ω till 20 kΩ och beräkna på nytt H_tot(s). - Är H_tot(s) ≈ H_1(s) · H_2(s)? Förklara!

Solution (notes)

a-b) Schemat med två serieresistorer (2 och 1) och en parallellgren; förenkling ger H(s) = 1/6. Analys visar att för kaskadkoppling kan inte H_tot(s) = H_1(s)·H_2(s) p.g.a. lastpåverkan; här ändras första systemets funktion från 1/2 till 1/3. (c) Med stora resistansvärden (20000) blir V(s) ≈ 1/2 X(s) och H_tot(s) ≈ 1/4. Förklaring: system 2 drar knappt någon ström från system 1 → R_3 = R_4 = R → ∞ ⇒ H(s) → 1/4. Lärdom: Vid kaskadkoppling krävs H(s) = H_1(s)·H_2(s) endast om efterföljande system inte belastar föregående system/systemet inmatning.

Connections (4) est. points: 0

exam_5_question:2

2 p

Snippet: "System B ... belastar inte system A (dvs. utsignalen v(t) från system A beror inte på system B). Beräkna h_A(t) och h(t) för kaskadkopplade system A och B." Koppling: Uppgiften handlar uttryckligen om kaskadkoppling av två fysiska LTI-system och påpekar att system B inte belastar A, vilket är precis förutsättningen i lektionen för att H_tot(s)=H_A(s)·H_B(s). Lektionen (6.8) förklarar när multipliceringen är giltig och vad som händer vid lastpåverkan — denna insikt behövs för att motivera att man får multiplicera överföringsfunktionerna innan man konvolverar impulssvaren. Jag ger 2 p eftersom lektionen ger den avgörande konceptuella förutsättningen men inte de specifika kretskalkylerna och konvolutionsberäkningarna som krävs för hela poängen.

exam_6_question:4

2 p

Snippet: "Två tidsdiskreta LTI-system H1 och H2 kaskadkopplas. Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] (i tids- och transformdomänen)." Koppling: Uppgiften är en standardkaskad av LTI-block där H_tot(z)=H1(z)·H2(z) och h[n]=h1*h2. Lektionen betonar att multiplicering gäller bara om efterföljande system inte belastar föregående — här antas ideal LTI-block (inga belastningseffekter), så lektionens princip är direkt tillämplig som förkunskap för både tids- och transformmetoden. Ger 2 p: lektionen ger direkt konceptet som låser multiplikationssteg men inte detaljerna i summation/partialbråksuppdelning.

exam_1_question:5

2 p

Snippet: "Ett tidsdiskret kausalt LTI-system H1 ... kaskadkopplas med ett ... H2 med impulssvar h2[n]=0.2^n u[n]. a) Beräkna totala impulssvaret h[n]." Koppling: Samma typ av uppgift som lektionen diskuterar (kaskadkoppling och när H_tot = H1·H2 gäller). Lektionen ger förståelsen att för idealiska (tidsdiskreta) LTI-block kan man multiplicera systemfunktioner och/eller konvolvera impulssvar för att få totalh. Ger 2 p eftersom konceptet direkt reducerar uppgiften till konvolution/produkt men inte utför själva algebraiska stegen.

exam_2_question:1

1 p

Snippet: "H1 ges, vi vill konstruera ett stabilt kausalt H2 som består av kaskadkoppling H1 med H3 så att H2 = H1·H3 (rita H3(s) och beräkna h3(t))." Koppling: Uppgiften använder direkt att kaskadkopplade system multiplicerar sina överföringsfunktioner (H2=H1·H3) — lektionen preciserar när detta gäller och var lastpåverkan kan bryta samband. Här antas ideal LTI-system (inga lastproblem), så lektionens villkor och resonemang är relevanta som förkunskap. Ger 1 p eftersom uppgiften i huvudsak kräver algebraisk division/invers transform, men lektionens idé är direkt användbar för att formulera H3(s).