Lesson 7 — Summary

Ett LTI-system H1 som inte är stabilt kan stabiliseras genom negativ återkoppling med ett stabilt LTI-system H2, enligt figuren nedan, så att det totala återkopplade systemet blir stabilt. Det totala systemet, med insignalen x(t) och utsignal y(t), har systemfunktion H_tot(s). [Blockdiagram: x(t) -> (+) -> H1 -> y(t); tillbaka från y(t) via H2 till (-) av summan] Här är båda delsystemen H1 och H2, med systemfunktion H1(s) respektive H2(s), kausala. a) Låt H1(s) = 1/(s-1), Re{s} > 1 och H2(s) = 2. Beräkna H_tot(s). Är det totala systemet stabilt? b) Låt H1(s) = K/(s^2 + 2s) och låt impulssvaret för återkopplingssystemet vara h2(t) = δ(t). Beräkna H_tot(s) och undersök det återkopplade systemets stabilitetsegenskaper för K = 1, K = -3, K = 2 och K = 0.

7.1 a) Inför hjälpsstorheten E(t) efter summatorn och Laplacetransformer alla signaler => (blockdiagram med återkoppling). H_tot(s) = Y2s(s)/X(s) där Y2s(s)=E(s)·H1(s) och E(s)=X(s)-Y2s(s)·H2(s). => Y(s)(1+H1(s)H2(s)) = X(s)·H1(s) => H_tot(s)=H1(s)/(1+H1(s)H2(s)). Med H1(s)=1/(s-1)·? och H2(s)=1 (delta) leder till H_tot(s)=1/(s+1). Eftersom båda delsystemen är kausala så är även totalsystemet kausalt => konvergensområdet för H_tot(s) är Re{s}>-1. jw-axeln ligger i konvergensområdet => systemet är stabilt. b) H1(s)=K/(s^2+2s)=K/(s(s+2)), Re{s}>0 (kausalt system, enlk. uppgift). H2(s)=δ(t) => H2(s)=1. => H_tot(s)=H1(s)/(1+H1(s)H2(s)) = K/(s(s+2)+K) = K/(s^2+2s+K). Systemets poler ges av s^2+2s+K=0 => s=-1 ± sqrt(1-K). Eftersom totalsystemet är kausalt är konvergensområdet högersidigt Re{s}>-v0 där v0 är realdelen av den pol som ligger längst till höger i s-planet. jw-axeln ligger i konvergensområdet för systemfunktionen till ett stabilt LTI-system, så måste alla poler till ett stabilt & kausalt LTI-system ligga i VHP (vänstra halvplanet). Exempelvärden: - K=1 => polerna i s=-1 ±0, dvs en dubbelpol i s=-1 => konv.område Re{s}>-1 => Stablilt system. - K=-3 => polerna i s=-1 ±2, dvs i s=-3 & s=1 => konv.område Re{s}>1 => Instabilt system. - K=2 => polerna i s=-1 ± j => Re{s}>-1 => Stabilt system. - K=0 => polerna i s=-1 ±1, dvs s=-2 & s=0 => konv.område Re{s}>0, enkelpol på jw-axeln som är en rand till konvergensområdet => Marginalt stabilt? Nej, för K=0 medför att H_tot(s)=0 => y_s(t)=0 för alla x(t) => "stabilt" system.

Återkoppling kan användas för att öka eller minska bandbredden hos ett frekvensselektivt filter. Betrakta filtret i grafen till höger, med systemfunktion H1(s) = ω_c/(s + ω_c), Re{s} > -ω_c (ω_c > 0). a) Visa att filtret har 3 dB-gränsvinkelfrekvensen ω_c, samt att det är amplitudnormerat, dvs. |H1(jω)|_max = 1. b) För att öka filrets bandbredd så återkopplas det, på motsvarande sätt som i uppgift 7.1, med ett system H2 som har systemfunktion H2(s) = 9. Visa att 3 dB-gränsvinkel för det totala återkopplade systemet H_tot är 10 ω_c. c) För att minska filtrets bandbredd, så ändras återkopplingssystemets systemfunktion till H2(s) = -0.9. Vilket är det nya totala återkopplade systemets 3 dB-gränsvinkelfrekvens? d) Produkten av förstärkningen och bandbredden, Eng: GBW (gain-bandwidth product), är ett mått på en förstärkares förmåga att förstärka vid olika frekvenser. Låt förstärkningen vara H_tot(0) och bandbredden vara 3 dB-gränsvinkelfrekvensen för det återkopplade systemet och visa att denna produkt är konstant för de tre systemen i a), b) och c).

7.2 a) H1(s)= ω_c/(s+ω_c), Re{s}>-ω_c => jw-axeln ligger i konvergensområdet => H1(jω)=H1(s)|_{s=jω}= ω_c/(ω_c+jω) => |H1(jω)| = ω_c/√(ω_c^2+ω^2). H1(s) har en reell/vald pol => |H1(jω)|_max vid ω=0 rad/s: |H1(0)| = ω_c/ω_c =1. Vid ω=ω_c får |H1(ω_c)| = 1/√2 · |H1(jω)|_max. => Filtrets 3 dB-gränsvinkelfrekvens är ω_c. b) Från lösningen till uppgift 7.1 a vet vi att H_tot(s)=H1(s)/(1+H1(s)H2(s)). Med H1(s)=ω_c/(s+ω_c) och H2(s)=9/(s+ω_c)? (givet i uppgift) blir H_tot(s)= ω_c/(s+10ω_c). H1 & H2 är kausala => H_tot kausal => konvergensområde Re{s}>-10ω_c => jw-axeln i konvergensområdet => systemet är stabilt. H_tot(jω)=ω_c/(10ω_c+jω) med |H_tot(ω)|_max = |H_tot(0)| = 1/10. => Filtrets 3 dB-gränsvinkelfrekvens är 10 ω_c. c) H_tot(s)= (ω_c/(s+ω_c)) / (1 + (ω_c/(s+ω_c))·(-0.9)) = ω_c/(s+0.1 ω_c), Re{s}>-0.1 ω_c. Stabilt system => H_tot(jω)=ω_c/(0.1 ω_c + jω). Jämförning visar att 3 dB-gränsvinkelfrekvens ≈ 0.1 ω_c? (beräkning i text) Slutsats: Filtrets 3 dB-gränsvinkelfrekvens är 0.1 ω_c. d) GBW (gain-bandwidth) för uppgifterna: - a): GBW = H(0)·ω_c = 1·ω_c = ω_c - b): GBW = H_tot(0)·10ω_c = (1/10)·10ω_c = ω_c - c): GBW = H_tot(0)·0.1ω_c = 10·0.1ω_c = ω_c (Anm: Här är |H(0)| = H(0); Fouriertransformens värde vid ω=0 är alltid reell om tidsfunktionen är reellvärd.)

Ett visst tidskontinuerligt kausalt LTI-system har systemfunktionen H(s) = (s + 2)/(s^2 + 5s + 4). Beräkna systemets utsignal y(t) för följande insignaler: a) x(t) = 5 cos(2t + π/6) b) x(t) = 10 cos(3t + 2π/9)

7.3 En stationär frekvenssignal x(t)=C·cos(ω0 t + θ) som insignal till ett LTI-system i både a) och b), dvs som lades på som insignal vid t=-∞. Om systemet är stabilt så är systemets utsignal y(t)=C·|H(jω0)| cos(ω0 t + θ + arg H(jω0)), där H(jω) är LTI-systemets frekvensfunktion. Är då systemet stabilt? Systemet är stabilt om jw-axeln ligger i konvergensområdet för H(s) = (s+2)/((s+5/2)^2-(5/2)^2+4) = (s+2)/((s+4)(s+1)) som uppenbarligen har enkla poler i s=-4 och s=-1. Enligt uppgift är systemet kausalt => H(s) har konvergensområdet Re{s}>-1 => jw-axeln ligger i konvergensområdet => Systemet är stabilt. a) x(t)=5 cos(2t + π/6) => y(t)=5·|H(2)|·cos(2t+π/6 + arg H(2)). H(2)=H(s)|_{s=j2} = (s+2)/(s^2+5s+4)|_{s=j2} = (2+j2)/(4-4 + j5·2) = ... Beräkning i text ger |H(2)|=√2/5 och argH(2)= -π/4 => y(t)=5·√2/5·cos(2t + π/6 - π/4) = √2·cos(2t - π/12). b) x(t)=10 cos(3t + 2π/9) => y(t)=10·|H(3)| cos(3t + 2π/9 + arg H(3)). H(3) = H(s)|_{s=j3} = (2+j3)/(4-9 + j5·3) = (2+j3)/( -5 + j15) ... Beräknat ger y(t) ≈ 2.3·cos(3t - 0.21) (detaljer i text).

Utsignalen från ett LTI-system kan allmänt uttryckas som y(t) = y_{zs}(t) + y_{ps}(t), där y_{zs}(t) bara består av LTI-systemets karaktäristiska termer och där y_{ps}(t) består av både systemkaraktäristiska termer och insignalstermer. (Insignalstermerna är den partikulära delen y_p(t) av utsignalen.) Ett stabilt LTI-system har systemfunktionen H(s) = (s + 3)/(s + 2)^2. Bestäm, för nedanstående insignaler x(t), motsvarande insignalsterm y_p(t) hos respektive utsignal y(t). (Du behöver alltså inte beräkna den totala utsignalen, utan bara hur systemet påverkar insignalen x(t).) a) x(t) = 10 u(t) b) x(t) = cos(2t + π/3)·u(t)

7.4 a) Insignalstermen hos y(t) sökes, vilken finns i y_{zs}(t) = (x * h)(t) <=> Y_{zs}(s)=X(s) H(s), där X(s)=L{x(t)} = L{10 u(t)} = 10/s, Re{s}>0. H(s)= -(s+3)/(s+2)^2. => Y_{zs}(s)=10/s · (s+3)/(s+2)^2 = A/s + (Bs+C)/(s+2)^2. Endast termen A/s relaterar till insignalen (dvs. y_p(t)=A·u(t)). Vid sammanläggning av de två termerna erhålls A(s+2)^2 + s(Bs+C) = 10(s+3) => 4A = 30 => A = 7.5 => y_p(t)=7.5 u(t). (Alternativ lösning:) Betrakta x(t)=10 u(t) som frekvenssignal med ω=0: x(t)=10·cos(0·t)·u(t). Då y_p(t)=10·|H(0)| cos(0·t + arg H(0))·u(t) med H(0)=3/4 => y_p(t)=10·3/4·u(t)=7.5 u(t). b) x(t)=cos(2t+π/3)·u(t). För stabilt LTI-system är insignalstermen y_p(t)=|H(2)| cos(2t+π/3 + arg H(2))·u(t). Beräkning i text ger y_p(t)=√3/8 cos(2t + arctan(2/3) - π/6)·u(t) (se detaljer i text).

I figuren till höger visas pol-nollställediagrammet för systemfunktionen H(s) = K·(s^2 + b1 s + b2)/(s^2 + a1 s + a2) till ett kausalt LTI-system. Systemet förstärker konstanta insignaler med en faktor 9, dvs. x(t) = konstant => y_{ps}(t) = 9·konstant. a) Bestäm nivåkonstanten K och koefficienterna b1, b2, a1 och a2 i H(s). b) Beräkna, med hjälp av pol-nollställevektorer, systemets utsignal y(t) för insignalen x(t) = 2 + cos(t).

7.5 a) Från pol-nollställediagrammet för H(s) erhålls H(s)=K·(s^2+3^2)/((s+2)^2 +1^2) = K·(s^2+9)/(s^2+4s+5). Jämför koefficienter: b1=0, b2=9, a1=4, a2=5. Systemet förstärker konstanten med faktor 9 => H(0)=9 => K·b2/a2 =9 => K·9/5 = 9 => K=5 (givet att H(jω) existerar). b) x(t)=2 + cos(t). Om LTI-systemet är stabilt så är utsignalen y(t)=2·H(0) + |H(1)| cos(t + arg H(1)). Enligt uppgift är systemet kausalt => konvergensområdet Re{s}>-2 => jw-axeln i konvergensområdet => systemet är stabilt. - För ω=0 => |H(0)|=9. - |H(1)| erhålles från pol- och nollställevektorer i pol-nollställediagrammet till höger: |H(1)| = |K| · (|N1|·|N2|)/(|P1|·|P2|) = 5·(2·4)/(2√2·2√2) = 5·√2 => arg H(1)= arg K + arg N1 + arg N2 - arg P1 - arg P2 = 0 - π/2 + π/2 -0 - arctan(2/2) = -π/4. Alltså y(t) = 18 + 5√2·cos(t - π/4) (detaljer i text).

Ett fysiskt frekvensselektivt filter har systemfunktionen H(s) = (s^2 - 2s + 50)/(s^2 + 2s + 50). - Skissera, med hjälp av pol-nollställevektorer, filtrets amplitudkarakteristik |H(jω)| och faskarakteristik arg H(jω). - Vilken typ av frekvensselektivt filter är detta? Motivera!

7.6 Pol-nollställediagram med inritade nollställevektorer och polvektorer vid ω≈3 rad/s visas. Eftersom längderna för varje par av speglade nollställen/poler är lika, så kommer amplitudkarakteristiken att bli lika med nivåkonstanten för alla vinkel/frekvenser, dvs |H(jω)|=1. Detta är således ett allpassfilter. Faskarakteristiken: Vid ω=0 gäller α=-γ (dvs summan av polvinklarna blir 0) och φ=2π-β, vilket innebär att arg H(0) = β + φ - (γ + α) = β + (2π - β) - (γ - γ) = 2π rad. När ω→∞ så kommer alla nollställe- och polvektorer att vara riktade rakt upp, vilket innebär att α = γ = φ = β = π/2 rad. Med M antal nollställen och N antal poler fås samband lim_{ω→∞} arg H(ω) = arg(nivåkonst.) + π/2 (M-N) = ... I figuren ändras faskarakt. kraftigast runt ω=7 rad/s på grund av att både polen i s=-1 + j7 och nollstället i s=1 + j7 har tydligast inverkan på fasen där. (Se illustrativa figurer och kurvor i text.)

Pol-nollställe diagrammet för systemfunktionen H(s) till ett stabilt LTI-system är givet i figuren till höger (poler vid -2 och -1, nollställe vid -2, med K=1). Skissera systemets ungefärliga amplitudkarakteristik och faskarakteristik utgående från pol-nollställevektorerna för H(s). ("Skissera" => Beräkna exakta värden för några intressanta vinkelfrekvenser och rita en rimlig kurva mellan dessa värden.)

7.7 Polvektorn och nollställevektorn för H(s) i det givna pol-nollställediagrammet, för w=w0. Formler: |H(jω0)| = |K|· (|N|/|P|) = r/d (för K=1). arg H(jω0) = arg K + arg N - arg P = ψ - θ. Tabell med exempelvärden beräknade för ω0 = 0, ω0 → ∞ och ω0 = 2 ger r och d, |H(jω0)| och vinklar ψ, θ och arg H(jω0). Kurvor för |H(ω)| och arg H(ω) illustreras i grafen. (Se detaljer och numeriska värden i handskriven text.)

Syntetisera (= designa) ett tidskontinuerligt amplitudnormerat bandpassfilter av ordning 2, där passbandet är centrerat kring ω0 = 10 rad/s, där |H(jω)| = 0 för ω = 0 och där lim_{ω→∞} |H(jω)| = 0. Systemfunktionens nivåkonstant K är lika med 1. a) Rita ett rimligt principiellt pol-nollställe diagram för systemfunktionen H(s) till ett sådant bandpassfilter. (Du behöver inte beräkna polernas exakta lägen.) b) Bestäm systemfunktionen H(s), för vilken |H(jω)| = 1 vid ω = 10 rad/s.

7.8 a) Ett tidskontinuerligt bandpassfilter av ordning 2, där passbandets mitt ligger vid ω0 = 10 rad/s. Systemfunktionens två poler finns vid s = -a ± j10. Villkoret lim_{ω→∞} |H(jω)| = 0 innebär att systemfunktionen bara har ett nollställe och då |H(0)|=0 så finns det nollstället i s=0. Pol-nollställediagrammet med K=1 enligt uppgift skissas. b) Pol-nollställediagrammet => H(s) = s/((s+a)^2 + 10^2). BP-filtret är per definition stabilt => H(jω)=H(s)|_{s=jω}. Kravet |H(jω)|_{ω=10}=1 ger ekvationen 10/√(a^4 + 20^2 a^2) =1 => a^4 + 400 a^2 = 100 => lösning a^2 ≈ 0.25 => a ≈ 0.5. Alltså H(s) = s/((s+0.5)^2 + 100), Re{s}>-0.5. (Alternativt kan a beräknas via pol-nollställevektorer.)

Ett energifritt kausalt tidskontinuerligt LTI-system har systemfunktion H(s) = 1/(s + 1). Beräkna utsignalen y(t) för de olika insignalerna x(t) nedan. a) x(t) = e^{-t} u(t) b) x(t) = e^{2t}·u_0(-t) + e^{t}·u(t) c) x(t) = e^{t}·u_0(-t) + e^{2t}·u(t)

7.9 Energifritt system => y(t)=y_{zs}(t) = (x*h)(t) <=> Y(s)=Y_{zs}(s)=X(s)·H(s), där H(s)=1/(s+1), Re{s}>-1 (typ. kausalt system). a) x(t) = e^{-|t|/2} = e^{t/2} u(-t) + e^{-t/2} u(t). Laplace: X(s)= -1/(s-0.5) + 1/(s+0.5), -0.5 < Re{s} < 0.5. => Y(s)=X(s) H(s) = -1/(s-0.5)·1/(s+1) + 1/(s+0.5)·1/(s+1). Partialbråksuppdelning och invertering ger y(t) = (2/3) e^{0.5 t} u(-t) + (2 e^{-t} - 4/3 e^{-t/3}) u(t) (detaljer i text). b) x(t) = e^{2t} u(-t) + e^{t} u(t). X(s)= -1/(s-2) + 1/(s-1), 1 < Re{s} < 2. => Y(s)=X(s)H(s) = -1/((s-2)(s+1)) + 1/((s-1)(s+1)). Partialbråksuppdelning ger y(t) = -1/3 e^{2t} u(-t) + (1/2 e^{t} - 1/6 e^{-t}) u(t). c) x(t) = e^{t} u(-t) + e^{2t} u(t). X(s)= -1/(s-1) + 1/(s-2) med Re{s}<1 respektive Re{s}>2. X(s) saknar en gemensam Laplacetransform över hela s-planet. Eftersom systemet är linjärt kan vi hantera signalens två termer separat: - x1(t)=e^{t} u(-t): Y1(s)=X1(s)H(s)= -1/(s-1)·1/(s+1) => y1(t)=1/2 (e^{t} u(-t) + e^{-t} u(t)). - x2(t)=e^{2t} u(t): Y2(s)=1/(s-2)·1/(s+1) => y2(t)=1/3 (e^{2t} - e^{-t}) u(t). => Total y(t)=y1(t)+y2(t)=1/2 e^{t} u(-t) + 1/6 e^{-t} u(t) + 1/3 e^{2t} u(t) (förenklad form i text).