8.1 0p from connections
Signalen x[n] är given i grafen nedan. Rita följande signaler: a) y1[n] = x[n-6] b) v[n] = x[3n] c) w[n] = x[3-n]
Show full question
Signalen x[n] är given i grafen nedan.
Rita följande signaler:
a) y1[n] = x[n-6]
b) v[n] = x[3n]
c) w[n] = x[3-n]
Solution (notes)
8.1 a) y[n] = x[n-6] => Skifta x[n] 6 steg åt höger. (Diagram visat)
b) v[n] = x[3n] => Komprimera (tryck ihop) x[n] med en faktor 3. v[n] består av var 3:e värde hos x[n], dvs v[-1]=x[-3], v[0]=x[0], v[1]=x[3], v[2]=x[6], osv. (Diagram visat)
c) w[n] = x[3-n] => x[n] ska speglas och förskjutas 3 steg, i valfri ordning. Om man t.ex. speglar först och sedan förskjuter, så betrakta först en hjälpsignal x̂[n] = x[-n] och förskjut sedan den 3 steg åt höger: w[n] = x[3-n] = x̂[n-3]. (Diagram visat)
Connections (4) est. points: 0
exam_1 assignment 4
2 p
Snippet (condensed): Solution derives h[n] = (1/3)(δ[n] + δ[n−1] + δ[n−2]) and then the step response g[n] = (1/3)(u[n] + u[n−1] + u[n−2]). Connection: lesson 8.1 teaches how to form and interpret shifted discrete sequences (x[n−k], u[n−k]) — directly used when writing u[n−1], u[n−2] and sketching g[n]. This is a substantial substep of the exam solution (drawing/expressing shifted unit-steps), but the exam also requires transform/|H(Ω)| reasoning to finish, so only partial credit is assigned.
exam_4 assignment 4
2 p
Snippet (condensed): Problem: h[n] = δ[n] + (1/3)^n u[n−1]; x[n] = u[n+3] − u[n−3]; then compute y[n] = (x * h)[n]. Connection: lesson 8.1 directly covers forming shifted signals x[n+3], x[n−3] and the idea of mirroring/shift used in convolution (need x[−k] or x[3−n] style thinking). Knowing how to produce and reason about these shifted/reversed discrete-time sequences gives direct help to set up the convolution limits and sketches. Other steps (actual convolution, partial-sums/Z-transform algebra) are separate, so partial points are given.
exam_4 assignment 5
1 p
Snippet (condensed): From the block diagram one gets H(z) = (1 − z^{−6})/(1 − z^{−1}) = Σ_{k=0}^{5} z^{−k} and hence g[n] = Σ_{k=0}^{5} u[n−k] with piecewise form g[n] = n+1 (0≤n≤5), =6 (n≥6). Connection: lesson 8.1's material on shifts (u[n−k], drawing shifted step sequences, and understanding how sums of shifted steps form piecewise signals) is exactly the elementary signal-level skill used to produce g[n]. The exam also uses z-transform manipulation to reach that expression, so only a small number of points are attributed.
exam_6 assignment 4
1 p
Snippet (condensed): H1 and H2 are given such that h1[n] = 0.5^{n−1} u[n−1], h2[n] = 0.8^{n−1} u[n−1]; solution computes h[n] = (h1 * h2)[n] = Σ h1[n−m] h2[m] and simplifies to closed-form. Connection: lesson 8.1 teaches how to interpret and manipulate sequences with shifted indices (n−1) and how to reason about nonzero index ranges when convolving shifted sequences. That understanding directly helps set up the convolution sums, though the geometric-sum algebra required to simplify is additional work, so only minimal points are given.
8.2 0p from connections
Ange signalen x[n] i uppgift 8.1 på sluten form, dvs. som ett enda analytiskt uttryck.
Show full question
Ange signalen x[n] i uppgift 8.1 på sluten form, dvs. som ett enda analytiskt uttryck.
Solution (notes)
Använd differenser av förskjutna enhetssteg för att beskriva en signal/funktion i olika n-intervall. Om t.ex. en signal kan uttryckas som f[n] i intervallet n0 ≤ n < n1 så kan den uttryckas som f[n](u[n-n0] - u[n-(n1+1)]) där.
När en signal/funktion är nollskild i ett litet antal n-värden, som x[n] är här, så är det enklare att uttrycka signalen på formen x[n] = Σk x[k] δ[n-k].
Här får vi därför x[n] = δ[n-1] + 2δ[n-2] + 3δ[n-3] + 2δ[n-4] + δ[n-5].
Connections (5) est. points: 0
exam_1 - 4
2 p
Direct match for the method: the solution rewrites a short-support discrete impulse response using shifted unit steps and deltas. Snippet: "h[n] = (1/3)(u[n] - u[n-3]) = (1/3)(δ[n] + δ[n-1] + δ[n-2])." Knowing how to express finite-length signals as differences of shifted unit steps or as a sum of scaled δ[n-k] directly gives the answer to this subquestion (full credit for that 2-point part).
exam_3 - 5
4 p
Strong connection: the exam inverts G(z)= (1 - z^{-6})/(1 - z^{-1}) to a piecewise/time-limited g[n] using sums/differences of shifted steps. Snippet: "G(z) = (1 - z^{-6})/(1 - z^{-1}) ⇒ g[n] = 0 (n<0); g[n]=n+1 (0≤n≤5); g[n]=6 (n≥6)." The lesson's technique (expressing sequences over n-intervals with u[n-n0]-u[n-(n1+1)] and as sums of δ's) is central to writing the final g[n]. Other steps (obtaining G(z) from the flow and z-domain inversion) are required as well, so I assign partial credit.
exam_4 - 4
2 p
Directly related: the problem gives x[n] as u[n+3] - u[n-3] and asks for convolution with h[n]=δ[n]+(1/3)^n u[n-1]. Snippet: "h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n-1]; ... x[n] = u[n+3] − u[n-3]." The lesson explains how to express signals as differences of shifted unit steps (and as δ-sums for short support), which immediately simplifies setting up the convolution and getting the requested part of the solution (a nontrivial but small portion of the total points).
exam_1 - 6
1 p
Related/prerequisite: the exam asks for the (short) DFT/X_r of x[n] for −2≤n≤2 (N0=5). Snippet: "Let X_r be the DFT of x[n] for −2 ≤ n ≤ 2, i.e. transform length N0 = 5." Representing a finite-length sequence as x[n]=Σ x[k] δ[n-k] (lesson) is a simple and standard way to compute its DFT samples, so the lesson directly helps compute the DFT samples (but the exam also involves DFT indexing/periodicity).
exam_5 - 4
1 p
Related: the exam shows an input/output pair with y[n] expressed as scaled deltas: "x[n] = (0.5^n + 1) u[n] → y[n] = 2 δ[n] − 1.5 δ[n−1]." The lesson's δ-sum representation of short/nonzero-at-few-samples signals is the exact tool to read/construct such delta-form signals and to proceed to find H(z)/h[n]; however the full exam question requires additional z-transform and ROC reasoning, so I only assign a small fraction of points.
8.3 0p from connections
Ett glidande medelvärde y[n] beskriver, vid varje position n i en sekvens x[n], medelvärdet av de N senaste värdena i sekvensen. Det glidande medelvärdet jämnar därför ut snabba fö…
Show full question
Ett glidande medelvärde y[n] beskriver, vid varje position n i en sekvens x[n], medelvärdet av de N senaste värdena i sekvensen.
Det glidande medelvärdet jämnar därför ut snabba förändringar i x[n], så att långsamma förändringar framgår tydligare. I praktiken motsvarar detta en lågpassfiltrering av x[n].
Ett glidande medelvärde över de N=5 senaste värdena hos signalen/sekvensen x[n], dvs. x[n], x[n-1], x[n-2], x[n-3] och x[n-4], kan implementeras som ett kausalt tidsdiskret LTI-system.
a) Vilken differensekvation beskriver förhållandet mellan y[n] och x[n]?
b) Realisera systemet med ett signalflödesschema (dvs. med summatorer/adderare, fördröjningselement och multiplikator).
Solution (notes)
a) y2[n] = 1/5 (x[n] + x[n-1] + x[n-2] + x[n-3] + x[n-4]).
b) Blockdiagram: en fördröjningskedja med fyra enhetsfördröjningar och summatorer som summerar x[n], x[n-1], x[n-2], x[n-3], x[n-4], följt av en skalning med 1/5 => y[n].
PS: Detta är ett s.k. FIR-filter. FIR-filter har bara framkopplingar, inga återkopplingar. FIR = Finite Impulse Response length, dvs impulssvaret har en ändlig utbredning där det är nollskilt.
Connections (3) est. points: 0
exam_1 - 4
4 p
Very close: exam asks about a discrete-time LTI system whose impulse response is a short rectangular pulse h[n] = (1/3) for n=0,1,2 (i.e. a length-3 moving-average). The lesson (length-5 moving average, block diagram and FIR discussion) directly gives the method to write h[n], H(z)= (1/N) Σ z^{-k} and to realize the filter as delays+sum+scale. That directly yields most of the work for (a) and greatly simplifies (b)/(c) (compute step response, |H(Ω)|, and response to a cosine). Snippet: "h[n] = (1/3) for n=0,1,2 ⇒ H(z)=(1/3)(1+z^{-1}+z^{-2}); (a) bestäm stegsvar g[n]; (b) skissera |H(Ω)| och ange filtertyp; (c) beräkna y[n] för x[n]=2+5 cos(2π/3 n)."
exam_3 - 5
5 p
Strong connection: exam asks for the step response of a signal-flow that implements a finite sum of delayed samples (six delays / sum of 6 terms). Solution uses the same identity H(z) = (1 - z^{-6})/(1 - z^{-1}) = Σ_{k=0}^{5} z^{-k} and derives g[n] (n+1 for 0≤n≤5, else 6). The lesson gives the direct block-realization for a moving-average (delays, adders, scale) and the concept of FIR with finite impulse response length, which is exactly the core needed to derive H(z) and g[n]. Snippet: "H(z) = (1 - z^{-6})/(1 - z^{-1}) = 1 + z^{-1} + ... + z^{-5}; g[n] = 0 for n<0, g[n]=n+1 (0≤n≤5), g[n]=6 (n≥6)."
exam_2 - 6
3 p
Related structure: exam gives a discrete-time flow with cascaded delays and adders and asks for H(z) and the response to a cosine. The lesson's moving-average filter teaches how to convert a delay-sum block diagram into H(z)=Σ z^{-k} (and how to evaluate H(e^{jΩ}) for sinusoidal inputs). This directly helps to obtain H(z) and compute y[n] for x[n]=cos(Ω0 n). Snippet: "Beräkna systemets systemfunktion H(z). (5 p) ... Beräkna utsignal y[n] då insignal x[n]=cos(π/3 n)." (solution: H(z) simplifies to a sum of delayed terms and y[n]=|H(e^{jΩ})| cos(Ω n + arg H)).
8.4 0p from connections
Nedan finns ett antal påståenden för tidsdiskreta signaler och system. Ange, för varje påstående, om det är sant eller falskt. - Om det är sant, förklara varför. - Om det är fals…
Show full question
Nedan finns ett antal påståenden för tidsdiskreta signaler och system. Ange, för varje påstående, om det är sant eller falskt.
- Om det är sant, förklara varför.
- Om det är falskt, berätta det eller ge ett motexempel som demonstrerar att påståendet är falskt.
a) En tidsdiskret effektsignal (dvs. som har ändlig effekt) kan inte samtidigt vara en energisignal (dvs. ha ändlig energi).
b) En tidsdiskret signal med oändlig signalenergi är alltid en effektsignal, dvs. den har ändlig effekt.
c) Ett tidsdiskret system med insignal x[n] och utsignal y[n] = (n+1)x[n] är kausalt.
d) Ett tidsdiskret LTI-system med insignal x[n] och utsignal y[n], där y[n-1] = x[n], är kausalt.
e) Om en energisignal x[n] har energin E, så har den decimerade (ihoptryckta/nedsamplade) signalen x[a·n], där a ∈ Z+, energin E/a.
Solution (notes)
a) SANT: En effektsignal har ändlig effekt Px men oändlig energi Ex; 0 < Px < ∞, Ex = ∞. En energisignal har däremot ändlig energi, dvs 0 < Ex < ∞, men dess effekt är noll, Px = 0.
b) FALSKT: Exempelvis har signalen x[n] = 2^n u[n] både oändlig energi och oändlig effekt. Den är alltså varken energisignal eller effektsignal.
c) SANT: Systemet skalar insignalen med en tidsberoende faktor n+1, men kausalitet handlar om utsignalens eventuella beroende av insignalen framåtriktade värden. Vid n=n0 beror y[n0] bara på x[n] för n≤n0, inte n>n0, dvs systemet är kausalt.
d) FALSKT: Eftersom systemet är tidsinvariant ("TI") så kan vi addera/subtrahera ett godtyckligt heltal till tidsvariabeln n. Exempelvis +1 => y[n+1] = x[n+1] => y[n] = x[n+1] => utsignalen y[n] beror på ett framtida värde hos insignalen => systemet är icke-kausalt.
e) FALSKT: Påståendet gäller för tidskontinuerliga signaler. Vid ihopsampling/decimering av tidsdiskreta signaler kan man förlora information så att energin för x2[n] blir mindre än Ex. T.ex. x[n] = δ[n-1] har energi E=1, så gäller att y[n] = x[2n] = 0 har energin 0, som är mindre än E/2 = 0.5.
Connections (5) est. points: 0
exam_3 — assignment 1
–
Snippet: "a) Beräkna signalenergin E_y hos utsignalen y(t). ... b) Vilken kausalitetsegenskap har systemet?" (h(t)=4/(4+t^2), x(t)=sin(t)/t). Why connected: Part (a) asks for signal energy and part (b) asks about causality. Lesson 8.4 gives the basic distinction between energy and power signals and criteria for causality; that knowledge is directly useful to interpret and set up the energy calculation and to answer the causality question. It does not by itself compute the Parseval/transform integrals needed in (a), so I assign no exam points (motivation only).
exam_4 — assignment 4
–
Snippet: "h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n-1]. a) Bestäm systemets kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap." Why connected: lesson 8.4(c) discusses causality (how output depends only on present/past input). That directly helps determine whether this discrete-time impulse response is causal and whether the system is stable (summability). The lesson does not provide the full z-transform/stability tests used in exam solutions, so assign no points.
exam_2 — assignment 4
–
Snippet: "Den tidskontinuerliga signalen x(t)=Δ(t/2) samplas idealt med sampelfrekvens f_s = 2 Hz ... insignal till ett tidsdiskret energifritt LTI-system ... Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)|." Why connected: lesson 8.4(e) gives an explicit warning/example that sampling/decimation of discrete-time signals can reduce energy (example δ[n-1] → x[2n]=0). This is conceptually relevant for reasoning about how sampling affects spectra and energy in this question. The lesson supplies conceptual warnings but not the full spectrum-drawing technique, so points = null.
exam_1 — assignment 6
–
Snippet: "Betrakta kaskadkopplat system: likformig sampling av x(t) följt av multiplikation av x[n] med (−1)^n, samt ideal rekonstruktion ... Rita frekvensspektren X[Ω], Y[Ω] och Y(ω)." Why connected: lesson 8.4(e) and the example about sampling/decimation relate to how sampling and time-domain operations (including modulation by (−1)^n) affect discrete-time spectra and energy. Understanding the lesson helps interpret the sampling step and its spectral copies/energy consequences; full answer still requires DTFT/aliasing work, so no points awarded.
exam_5 — assignment 6
–
Snippet: (True/False list) g) "Vid sampling ... kan den samplade signalen rekonstrueras ... om f_s ≥ 2B." and h) about DFT period and resolution. Why connected: lesson 8.4(e) addresses sampling-related pitfalls (decimation/energy loss) and the general sampling theorem context. That background directly helps judge the truth of these sampling-related statements. As this is a multipart T/F item rather than identical to the short lesson statements, I give motivation only (no points).
8.5 0p from connections
Ett visst tidsdiskret LTI-system genererar, för insignalen x1[n], utsignalen y1[n] enligt graferna nedan. Bestäm och rita LTI-systemets utsignal y2[n] för insignalen x2[n] i grafen…
Show full question
Ett visst tidsdiskret LTI-system genererar, för insignalen x1[n], utsignalen y1[n] enligt graferna nedan.
Bestäm och rita LTI-systemets utsignal y2[n] för insignalen x2[n] i grafen till höger.
Solution (notes)
Givet två diskreta signaler x1[n] och x2[n] (diagram visas). Det går att uttrycka x2[n] som funktion av x1[n]:
x2[n] = x1[n-1] - 2·x1[n-2].
Rita gärna x1[n-1] och 2·x1[n-2] för att bekräfta detta. Eftersom (LTI-)systemet är linjärt och tidsinvariant, så kan y2[n] uttryckas som motsvarande linjärkombination av y1[n], dvs
y2[n] = y1[n-1] - 2·y1[n-2].
(Diagram över y1 och y2 visas.)
Connections (4) est. points: 0
exam_1 - uppgift 4
–
Snippet: lösning visar h[n] = (1/3)(δ[n]+δ[n−1]+δ[n−2]) och därav y[n] = (1/3)(x[n]+x[n−1]+x[n−2]). Koppling: samma LTI‑princip används — om ett insignalssamband är en linjärkombination av förskjutna versioner så blir utsignalen samma linjärkombination av motsvarande förskjutna utsignaler. Kunskap från lektionen hjälper direkt att känna igen och skriva y[n] som linjärkombination av förskjutna y1[n]-termer (men uppgiften kräver dessutom analys av H(Ω) för att svara på alla delfrågor).
exam_1 - uppgift 5
–
Snippet: H1 ges via differensekvation v[n] − 0.8 v[n−1] = 3 x[n]; H2 har impulsrespons h2[n] = 0.2^n u[n]; uppgiften beräknar totalt impulssvar h[n] för kaskadkoppling. Koppling: lektionen handlar om att när insignalssamband innehåller skalning och förskjutning, så överförs samma linjära/tidsinvarianta kombination till utsignalerna — här används egenskaperna linearitet och förskjutning i TIDSDISKRET LTI‑system vid konvolution och konstruktion av blockdiagram/realisation. Lektionens idé hjälper vid intuitiv tolkning av hur förskjutningar/skalor i inngången påverkar utgången och vid ritning/insättning i flödesscheman.
exam_4 - uppgift 5
–
Snippet: differensekvationen 2 y[n+2] − 3 y[n+1] + y[n] = 4 x[n+2] − 3 x[n+1] används för att beräkna y[n] (med initialtillstånd). Koppling: uppgiften innehåller uttryck där insignalens förskjutna versioner förekommer explicit på högersidan — förståelsen att en förskjutning av x motsvarar samma förskjutning i bidraget till y (i ett LTI‑system) och hur man hanterar förskjutna termer i z‑domänen är precis det lektionen övar. Lektionens metod (ersätta insignal med kombination av förskjutna signaler och använda LTI‑egenskapen) är ett direkt hjälpmedel när man delar upp och hanterar dessa termer vid z‑transform och vid hitta zero‑input/zero‑state.
exam_6 - uppgift 4
–
Snippet: H2 beskrivs genom y[n] − 0.8 y[n−1] = x[n−1] (högerled innehåller x[n−1]) och H1 har h1[n] = 0.5^{n−1} u[n−1]; lösningen beräknar totalt h[n] både i tidsdomänen (faldning) och i transformdomänen. Koppling: lektionen visar exakt principen att en insignal som är en förskjuten/skalad version av en annan leder till motsvarande förskjutna/skalade utsignaler i ett LTI‑system — detta används direkt när man hanterar termer som x[n−1] och förskjutna impulssvar vid konvolution och transformberäkningar. Att känna igen att en förskjutning i tid blir samma förskjutning hos utsignalen förenklar både tidsdomänfaltung och z‑transformhantering.
8.6 0p from connections
Betrakta ett tidsdiskret system som multiplicerar dess insignaI x[n] med en rampfunktion r[n] = n·u[n], dvs. systemets utsignal är y[n] = x[n]·r[n]. Är systemet a) stabilt, margin…
Show full question
Betrakta ett tidsdiskret system som multiplicerar dess insignaI x[n] med en rampfunktion r[n] = n·u[n], dvs. systemets utsignal är y[n] = x[n]·r[n].
Är systemet
a) stabilt, marginellt stabilt eller instabilt?
b) linjärt eller icke-linjärt?
c) kausalt eller icke-kausalt?
d) tidsinvariant eller tidsvariant/ -variabel?
Solution (notes)
För insignalen x[n] genererar systemet utsignalen y[n] = n·x[n]·u[n].
a) Stabilitet: Om en begränsad x[n] går snabbare mot noll än vad r[n] = n·u[n] växer mot oändligheten när n→∞, så blir utsignalen begränsad för alla n. Dock för vissa begränsade insignaler, som t.ex. x[n] = u[n], så kommer y[n] = n·x[n]·u[n] att divergera då n→∞. Systemet är därför marginellt stabilt.
b) Linearitet: Låt y1[n] = n·x1[n]·u[n] och y2[n] = n·x2[n]·u[n] och låt x[n] = a·x1[n] + b·x2[n]. Då y[n] = n·(a·x1[n] + b·x2[n])·u[n] = a·y1[n] + b·y2[n]. => Systemet är linjärt.
c) Kausalitet: y2[n] = n0·x[n0]u[n0] beror på x[n] endast för n = n0, dvs inte på insignalen framåtriktade värden => Systemet är kausalt.
d) Tidsinvarians: Betrakta tidsförskjutna signalen x̃[n] = x[n-M]. Då ỹ[n] = n·x̃[n]·u[n] = n·x[n-M]·u[n] ≠ y[n-M] = (n-M)·x[n-M]·u[n-M]. => Systemet är tidsvarierat.
Connections (5) est. points: 0
exam_4 - 4
2 p
Direct match on checking causality and stability for a discrete-time impulse response. Knowing how to test causality (h[n]=0 for n<0) and BIBO-stability (summability of |h[n]|) from the lesson directly gives the points for this subquestion. Snippet: "h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n-1]. a) Bestäm systemets kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap. (2 p)"
exam_5 - 4
1 p
Exact same type of question: determine causality of a discrete-time system. The lesson's causality criterion (output at n0 depends only on input ≤ n0) directly answers this 1-point subquestion. Snippet: "4. ... b) Vilken kausalitetsegenskap har systemet? (1 p)" (system same as in question: relation between x[n] and y[n] given).
exam_5 - 6
1 p
The lesson explains 'marginal stability' with an example y[n]=n x[n] u[n], so it directly helps judge statements about marginal stability. This maps to the true/false substatement asking whether h[n]=cos(π/3 n) u[n] is marginally stable (1 p). Snippet: "f) Ett tidsdiskret LTI-system med impulssvar h[n] = cos(π/3 n) u[n] är marginellt stabilt. (1 p)"
exam_3 - 1
2 p
Same conceptual test for causality in continuous-time: the lesson's causality reasoning (check h(t) for t<0) transfers and allows answering the full 2-point question asking the system's causality property. Snippet: "1. ... h(t) = 4/(4 + t^2) ... b) Vilken kausalitetsegenskap har systemet? Motivera! (2 p)"
exam_1 - 4
2 p
Lesson establishes linearity checking by superposition — that directly helps compute outputs for sum/DC/cosine inputs in small subquestions. This maps to the 2‑point subquestion asking y[n] for x[n]=2+5 cos(...), where linearity + evaluation at frequencies yields the answer. Snippet: "4. ... c) Beräkna systemets utsignal y[n] för insignalen x[n] = 2 + 5 cos(2π/3 n). (2 p)"
8.7 0p from connections
Ett energifritt tidsdiskret LTI-system med impulssvar h[n] = (0.5)^n · u[n]. Beräkna systemets utsignal y[n] då dess insignal är x[n] = 2^n · u[n].
Show full question
Ett energifritt tidsdiskret LTI-system med impulssvar h[n] = (0.5)^n · u[n].
Beräkna systemets utsignal y[n] då dess insignal är x[n] = 2^n · u[n].
Solution (notes)
Konvolutionsexempel: givet h[n] = (1/2)^n u[n] och x[n] = 2^n u[n]. (Grafisk och matematisk utledning visas.)
Resultat: y[n] = 1/3 (4·2^n - (0.5)^n)·u[n]. (Här visas detaljerad summa och resonemang om n≤0 och n>0 samt överlapp i summation.)
Connections (4) est. points: 0
exam_1 - assignment 5
2 p
Directly related: exam asks (part a) for the total impulse response when cascading a system H1 (given by a difference equation) with H2 having h2[n]=0.2^n u[n]. Solution uses convolution of exponential sequences to get h[n]=(4·0.8^n − 0.2^n) u[n]. Snippet: "H1: v[n] − 0.8 v[n−1] = 3 x[n]; H2: h2[n] = 0.2^n u[n]. a) Beräkna totala impulssvaret h[n]. (4 p)" — The lesson (convolution of (1/2)^n u[n] with 2^n u[n]) directly teaches the time-domain summation and overlap reasoning needed to convolve two geometric sequences; it covers the key summation technique but not the separate step of deriving H1 from the difference equation, so I award part of the points (≈2/4).
exam_6 - assignment 4
3 p
Very close match: the exam asks to compute the cascade impulse response where h1[n] and h2[n] are geometric sequences (h1 from H1[Ω] → 0.5^{n-1} u[n-1], h2 from difference equation → 0.8^{n-1} u[n-1]) and then convolve them to get an analytical closed form. Snippet: "H1[Ω]=1/(e^{jΩ}-0.5) ⇒ h1[n]=0.5^{n-1}u[n-1]; H2: y[n]−0.8y[n−1]=x[n−1] ⇒ h2[n]=0.8^{n-1}u[n-1]; Beräkna totalt h[n]." — The lesson example is essentially the same convolution idea (sum of products of exponentials with careful index limits and case-splitting), so it gives large credit toward this question. Remaining work (index shifts, ROC/transform-domain alternatives, arithmetic) are additional steps, so partial points (≈3/8) are given.
exam_5 - assignment 2
–
Relevant as a methodological prerequisite: the exam asks to compute h(t) for a cascade where h_A(t)=2 e^{-2t} u(t) and h_B(t)=u(t−1)−u(t−4), so h(t)=h_A * h_B (convolution of an exponential with a rectangle). Snippet: "a) beräkna h_A(t)=2 e^{-2t} u(t). b) beräkna h(t)=h_A * h_B, where h_B(t)=u(t−1)−u(t−4)." — The lesson teaches time-domain convolution of exponentials and handling overlap intervals; that approach is directly useful (continuous-time analog). This is a prerequisite/technique connection (no points assigned).
exam_3 - assignment 3
–
Weaker but relevant: exam uses h(t)=δ(t) + 2 e^{−3t} u(t) and computes outputs for given inputs (including convolution/time-domain and frequency-domain methods). Snippet: "h(t)=δ(t)+2 e^{−3t} u(t). a) x(t)=4 cos(2t) → find y(t). b) x(t)=... → find y(t)." — The lesson's detailed treatment of convolving exponentials (even in discrete time) reinforces the convolution concepts, overlap reasoning and use of transform-domain shortcuts employed in this continuous-time question. This is a conceptual/prerequisite link (no points awarded).
8.8 0p from connections
Den systembeskrivande differensekvationen för ett visst tidsdiskret LTI-system är y[n] = x[n] - 2x[n-1]. Bestäm och rita systemets a) impulssvar h[n]. b) steg svar g[n].
Show full question
Den systembeskrivande differensekvationen för ett visst tidsdiskret LTI-system är y[n] = x[n] - 2x[n-1].
Bestäm och rita systemets
a) impulssvar h[n].
b) steg svar g[n].
Solution (notes)
a) h[n] = y2s[n] för x[n] = δ[n]. y[n] = x[n] - 2 x[n-1] => h[n] = δ[n] - 2δ[n-1]. (Diagram visat)
b) g[n] = y2s[n] för x[n] = u[n]. y[n] = x[n] - 2 x[n-1] => g[n] = u[n] - 2 u[n-1]. (För n≥1 är u[n] - 2u[n-1] = 1 - 2 = -1) (Diagram visat)
Connections (7) est. points: 0
exam_1 - assignment 4
2 p
Snippet: "a) Bestäm systemets stegsvar g[n]. (2 p)" where h[n] is given (finite-length FIR). Connection: The lesson computes h[n] for x[n]=δ[n] and g[n] for x[n]=u[n] for the simple relation y[n]=x[n]-2x[n-1]. Computing the step response g[n] from a given impulse response h[n] is the same operation as lesson part (b). This subquestion is essentially the same type of task and would be solved directly by the method in the lesson, so award the subquestion's 2 points.
exam_1 - assignment 5
–
Snippet: "H1: v[n] − 0.8 v[n−1] = 3 x[n]. H2: h2[n] = 0.2^n u[n]. a) Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n]. (4 p)". Connection: The lesson covers finding impulse and step responses for simple difference relations and for specific inputs δ[n] and u[n]. That knowledge is a prerequisite for deriving impulse responses of cascaded discrete systems (you need to compute each subsystem's impulse response and convolve). The lesson does not by itself solve the cascade algebra here, so no direct points (motivation only).
exam_2 - assignment 5
–
Snippet: "Då ett tidsdiskret LTI-system matas med insignalen x[n] = (0.5^n + 1) u[n] erhålles utsignalen y[n] = 2δ[n] − 1.5δ[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H(z)... (5 p)". Connection: The lesson shows how a system responds to δ[n] and u[n] (impulse and step). This exam question is the inverse problem (given inputs and outputs find H(z)), so understanding impulse/step responses is directly relevant as background but additional algebra (Z-transforms, division) is required. No direct points awarded.
exam_3 - assignment 4
–
Snippet: "y[n] + 0.25 y[n−2] = 2 x[n] + x[n−1]; a) Beräkna systemfunktionen H[z]. b) Beräkna zero-input response y_zi[n]." Connection: Lesson teaches computing impulse/step responses for simple difference relations and using them to get outputs for δ and u inputs. That fundamental skill (working with difference equations, obtaining H(z) and time responses) is necessary to solve this exam question; the exam requires additional steps (Z-transform, handling initial conditions) so give motivation only.
exam_4 - assignment 4
–
Snippet: "h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n−1]. a) Bestäm systemets kausalitet och stabilitet. b) Beräkna y[n] för x[n] = u[n+3] − u[n−3]." Connection: The lesson explicitly computes h[n] for δ and g[n] for u inputs; this exam uses an impulse response that includes a δ-term plus a causal exponential and then asks for convolution with step-like signals. The lesson provides directly relevant techniques (identifying δ-terms, computing convolution with step), so it's a close prerequisite — motivation only (extra algebraic casework required).
exam_5 - assignment 4
–
Snippet: (same theme) "Då ett energifritt tidsdiskret LTI-system matas med insignalen x[n] = (0.5^n + 1) u[n] erhålls utsignalen y[n] = 2 δ[n] − 1.5 δ[n−1]. e) Beräkna systemets impulssvar h[n]." Connection: closely related to understanding how δ and u inputs relate to h[n] and to building H(z). The lesson's examples on impulse and step responses are foundational for solving this type of problem, but additional algebra (inversion/partial fractions) is required — so motivation only.
exam_6 - assignment 4
–
Snippet: "H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0.5). H2: y[n] − 0.8 y[n−1] = x[n−1]. Beräkna totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] i tids- och transformdomänen. (a/b)". Connection: The lesson gives direct practice computing impulse responses from simple difference relations (δ-input) and using convolution for cascades. That method is exactly what is used here (compute h1, h2 and convolve or multiply H1·H2). Because the exam requires working both in time and transform domains and more algebra, I mark this as a prerequisite connection (no direct points).
8.9 0p from connections
Ett tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n-1]. a) Är systemet kausalt och/eller stabilt? b) Beräkna utsignalens zero-state-komponent y_zs[n] för insi…
Show full question
Ett tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n-1].
a) Är systemet kausalt och/eller stabilt?
b) Beräkna utsignalens zero-state-komponent y_zs[n] för insignalen x[n] = u[n+3] - u[n-3].
Solution (notes)
h2[n] = δ[n] + (1/3)^n u[n-1] = (1/3)^n u[n].
a) h[n] = 0 för n<0 => LTI-systemet är kausalt.
Σ |h[n]| = Σ_{n=0}^∞ (1/3)^n = 1/(1-1/3) = 3/2 < ∞ => LTI-systemet är stabilt.
Connections (4) est. points: 0
exam_4, assignment 4
2 p
Exact overlap with lesson part (a). Snippet: "h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n-1]. a) Bestäm systemets kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap. (2 p)". The lesson shows h[n]=0 for n<0 ⇒ causal and Σ|h[n]| = Σ_{n=0}^∞ (1/3)^n = 3/2 < ∞ ⇒ stable. Knowing the lesson directly gives the full solution to this 2-point subquestion; the remaining 6-point subquestion (convolution to get y[n]) requires additional work.
exam_3, assignment 1
–
Related concept / prerequisite: testing causality and stability from the impulse response. Snippet: "Ett tidskontinuerligt LTI-system med impulssvar h(t) = 4/(4 + t^2) ... b) Vilken kausalitetsegenskap har systemet?". The lesson teaches the direct checks (support of h for causality and absolute-summability/integrability for BIBO stability) which apply to continuous-time problems too — useful for answering part (b) here, but not sufficient to solve the whole exam question (which also asks energy computations).
exam_2, assignment 2
–
Related prerequisite for parts (b) and (c): determining causality and external stability from H(ω)/h(t). Snippet: "H(ω) = e^{j2ω} sinc(ω/π) = e^{j2ω} sinc(ω). b) Vilken kausalitetsegenskap har systemet? (1 p) c) Vilken (extern) stabilitetsegenskap har systemet? (1 p)". The lesson's checks (whether h(t) is nonzero for t<0 and whether ∫|h(t)| dt < ∞) are exactly the methods to answer these parts; they form a prerequisite but the exam requires identifying h(t) first (inverse transform) as well.
exam_6, assignment 1
–
Related prerequisite: splitting response into zero-state / zero-input and using H(s) to judge causality/stability. Snippet: differential equation leads to H(s) and asks for y(t) with given initial conditions; solution separates y = y_{2s} + y_{ei} and uses pole locations/convergence region: "Bestäm LTI-systemets systemfunktion H(s) (inklusive konvergensområde!) samt utsignalen y(t) ...". The lesson's method for checking causality/stability from h (or from pole locations/convergence region) is helpful background for judging the system properties in this problem, though solving the full question needs Laplace/initial-condition work as well.
8.10 0p from connections
Ett energifritt tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = (-2)^n · u[n-1]. Beräkna utsignalen y[n] då insignalen är x[n] = e^n · u[n+1].
Show full question
Ett energifritt tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = (-2)^n · u[n-1].
Beräkna utsignalen y[n] då insignalen är x[n] = e^n · u[n+1].
Solution (notes)
(Konvolutionsövning med x[n] = u[n+3] - u[n-3] och h[n] = (1/3)^n u[n])
Genomgång av summationsgränser vid spegling och förskjutning. Analys av olika intervall för n och överlapp mellan x[n-m] och h[m]. (Detaljerad derivation med fallindelning visas.)
Resultat: y2s[n] är styckvis definierad enligt tre intervall: 0 för n < -3; (3/2)(1 - (1/3)^{n+4}) för -3 ≤ n ≤ 2; och (364/27)·(1/3)^n för n > 2. (Full härledning i bilden.)
Connections (4) est. points: 0
exam_4 Q4
6 p
Nearly the same discrete convolution problem: same input x[n]=u[n+3]-u[n-3] and piecewise-by-interval convolution analysis. The exam solution carries out the mirror/shift, summation-limit reasoning and gives a piecewise y[n] expression very similar to the lesson result (same interval structure and matching form). Knowledge of the lesson assignment would directly give most of the work/points on this exam question (only small differences in h[n] notation in the exam statement). Snippet: 'x[n] = u[n+3] − u[n−3]; compute y[n] = (x*h)[n] by analysing overlap intervals; result y2s[n] is piecewise: 0 for n < −3; (3/2)(1 − (1/3)^{n+4}) for −3 ≤ n ≤ 2; and (364/27)·(1/3)^n for n > 2.'
exam_6 Q4
–
Strong prerequisite: convolution of two causal exponential sequences and careful summation-index handling (overlap intervals) — same core technique as in the lesson (summing geometric sequences over appropriate m-intervals). This exam computes h[n] for cascade h1[n]=0.5^{n-1}u[n-1] and h2[n]=0.8^{n-1}u[n-1] via time-domain convolution and also via transforms. Snippet: 'h[n] = (h1*h2)[n] = Σ h1[n−m] h2[m]; result expressed as linear combination of exponentials dependent on n with unit-step gating.'
exam_3 Q5
–
Related technique: deriving a step/impulse/step-like response by manipulating z-transforms and/or time-domain convolution with piecewise intervals. The exam derives a step response g[n] using Z-transform algebra and also by convolution / interval analysis, producing piecewise expressions (different n-intervals). These methods are directly useful when setting summation limits and evaluating finite/partly-finite convolutions like in the lesson. Snippet: 'G(z) = (1−z^{−6})/(1−z^{−1}) ⇒ g[n] = (n+1) for 0≤n≤5, =6 for n≥6 (piecewise by intervals).'
exam_2 Q2 (solutions)
–
Related continuous-time analogue: convolution with a finite-duration kernel leading to a piecewise-defined output and careful case-by-case interval analysis. Shows the same reasoning pattern (determine overlap intervals, integrate/sum over those intervals, simplify geometric/exponential terms), which transfers to discrete convolution practice in the lesson. Snippet: 'h(t) = 1/2 (u(t+3) − u(t+1)); convolution with x(t)=e^{−t}u(t) yields y(t) piecewise (different formulae for t<-3, -3≤t<-1, t≥-1).'
8.11 0p from connections
Ett energifritt tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = (-2)^n · u[n]. Bestäm utsignalen y[n] då insignalen är x[n] = e^{-n} · u[n]. (Tips: Här kan du använda dig av resulta…
Show full question
Ett energifritt tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = (-2)^n · u[n].
Bestäm utsignalen y[n] då insignalen är x[n] = e^{-n} · u[n].
(Tips: Här kan du använda dig av resultatet i uppgift 8.10 för att bestämma utsignalen i uppgift 8.11 utan att utföra nästan samma konvolutionsberäkning igen.)
Solution (notes)
Konvolutionsexempel: x[n] = e^{-n} u[n+1] och h[n] = (-2)^n u[n-1]. (Utförlig summa och förenkling presenteras.)
Resultat: y[n] = (2 e^2 / (1+2e)) ((2)^n - e^{- (n+1)})·u[n]. Efter förenkling: y[n] = (2 e^2 / (1+2e)) ((2)^n - e^{-(n+1)}) u[n]. (Se bild för full utledning.)
Connections (5) est. points: 0
exam_1 - assignment 5(a)
3 p
Snippet: "H1 kausal: v[n] − 0.8 v[n−1] = 3 x[n]. System H2: h2[n] = 0.2^n u[n]. a) Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n]. (4 p)". Connection: This exam subproblem asks for the impulse response of two cascaded discrete-time LTI systems where each impulse response is a real exponential (powers of constants) multiplied by u[n]. The lesson (8.11) works through convolution sums of sequences of the form a^n u[·] and shifted unit-steps and shows how to carry out and simplify the summation. Knowing 8.11 directly supplies the main convolution technique and algebra needed to obtain h[n]; remaining steps are algebraic simplifications and partial-fraction style manipulations.
exam_6 - assignment 4(a)
3 p
Snippet: "H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0.5). H2 given by y[n] − 0.8 y[n−1] = x[n−1]. Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] genom beräkningar i tidsdomänen (4 p).". Connection: The time-domain solution expands to h1[n] = 0.5^{n-1} u[n−1] and h2[n] = 0.8^{n-1} u[n−1] and then requires the discrete convolution sum of two exponentials with shifts — essentially the same type of convolution handled in lesson 8.11. Mastery of 8.11 gives the student the method to evaluate the finite or infinite geometric sum that appears and to simplify to closed form.
exam_4 - assignment 4(b)
2 p
Snippet: "h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n−1]. b) Beräkna systemets utsignal y[n] för x[n] = u[n+3] − u[n−3]. (6 p)". Connection: Computing y[n] requires convolving x[n] (finite-duration step differences) with h[n] that includes a shifted exponential term. The lesson details handling u-shifts and geometric sequences in the convolution sum; that directly helps solving (b), though here the input has piecewise intervals so additional bookkeeping is needed.
exam_1 - assignment 4(a,c)
1 p
Snippet: "h[n] = (1/3)(δ[n] + δ[n−1] + δ[n−2]) ⇒ (a) Bestäm systemets stegsvar g[n]. (2 p). (c) Beräkna y[n] för x[n] = 2 + 5 cos(...). (2 p).". Connection: These parts use convolution with a short finite-length impulse response (FIR). The lesson's worked convolution example reinforces the convolution-sum mechanics (index shifts, limits) used here. The connection is general (methodology) rather than identical.
exam_5 - assignment 2(b)
1 p
Snippet: "System A: h_A(t)=2 e^{−2t} u(t). System B: h_B(t)=u(t−1) − u(t−4). b) Beräkna impulssvaret h(t) för det totala kaskadkopplade systemet.". Connection: Though continuous-time, this question requires convolution of an exponential with a time-shifted rectangular window (piecewise u), analogous to discrete-time convolution with exponentials and shifted unit-steps in 8.11. The lesson gives the convolution-sum/integral technique and manipulation of resulting geometric/exponential terms; it is a useful prerequisite but not identical, so only minor credit is assigned.
8.12 0p from connections
Ett tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = n (u[n-2] - u[n+2]). a) Rita h[n] i intervallet -5 ≤ n ≤ 5. b) Bestäm den systembeskrivande differensekvationen, som beskriver …
Show full question
Ett tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = n (u[n-2] - u[n+2]).
a) Rita h[n] i intervallet -5 ≤ n ≤ 5.
b) Bestäm den systembeskrivande differensekvationen, som beskriver förhållandet mellan systemets utsignal y[n] och insignal x[n].
Solution (notes)
a) h[n] = n (u[n-2] - u[n+2]) = -n (u[n+2] - u[n-2]) = -(-2) δ[n+2] - (-1) δ[n+1] - 0·δ[n] - 1·δ[n-1] = 2 δ[n+2] + δ[n+1] - δ[n-1]. (Diagram visat)
b) Betrakta LTI-systemet som energifritt => y[n] = y2s[n] = (x*h)[n] = x[n] * (2 δ[n+2] + δ[n+1] - δ[n-1]) = 2 (x[n] * δ[n+2]) + x[n] * δ[n+1] - x[n] * δ[n-1] = 2 x[n+2] + x[n+1] - x[n-1]. Svar: y[n] = 2 x[n+2] + x[n+1] - x[n-1].
Connections (4) est. points: 0
exam_1, assignment 4 (part c)
2 p
Snippet: h[n] = (1/3)(δ[n] + δ[n-1] + δ[n-2]) and y[n] = (x * h)[n] = (1/3)(x[n] + x[n-1] + x[n-2]) (exam_1_solutions, Uppgift 4). Connection: the lesson shows how to rewrite a finite-duration h[n] as a sum of weighted deltas and then obtain y[n] as weighted shifts of x[n]. Knowing 8.12 directly yields the output-expression method used in part c (2 p).
exam_4, assignment 4 (whole)
3 p
Snippet: h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n-1]; task: compute y[n] for x[n] = u[n+3] − u[n−3] by convolution (exam_4_solutions, Uppgift 4). Connection: 8.12 demonstrates expressing h[n] via delta terms (and using linearity/time-shifts) to turn convolution into a sum of shifted x[n]. That method gives a large part of the work for this convolutional output (not all interval bookkeeping), so I credit ~3/6 points for the core delta/shift technique.
exam_3, assignment 5
4 p
Snippet: G(z) = (1 − z^{−6})/(1 − z^{−1}) ⇒ g[n] = Σ_{k=0}^{5} u[n−k] (exam_3_solutions, Uppgift 5). Connection: 8.12 teaches converting finite-length/time-limited sequences into sums of shifted impulses (deltas) and using convolution to get sums of shifted inputs/steps. That directly matches the approach used to derive g[n] here; mastering 8.12 would therefore give substantial credit toward this 8-point problem (I assign half, 4 points, since additional Z-transform manipulations are also required).
exam_5, assignment 4 (part e)
1 p
Snippet: Given x[n] = (0.5^n + 1)u[n] and y[n] = 2δ[n] − 1.5δ[n−1]; part e asks to compute h[n] (exam_5_question, Uppgift 4). Connection: 8.12's technique of writing an impulse response as a finite sum of deltas and using delta-shift convolution is directly relevant to identifying/working with δ-terms in H and h[n]. It directly helps the 1-point subtask e (computing h[n]).
8.13 0p from connections
Två tidsdiskreta LTI-system h1 och h2, med impulssvar h1[n] = 2^n · u[n] respektive h2[n] = δ[n] - 2δ[n-1], kaskadkopplas. Bestäm stabilitetsegenskapen för var och en av de två del…
Show full question
Två tidsdiskreta LTI-system h1 och h2, med impulssvar h1[n] = 2^n · u[n] respektive h2[n] = δ[n] - 2δ[n-1], kaskadkopplas.
Bestäm stabilitetsegenskapen för var och en av de två delsystemen samt för det totala kaskadkopplade systemet.
Solution (notes)
Kaskadkoppling: H1 och H2 i serie. H1: h1[n] = 2^n u[n] => Σ |h1[n]| divergerar och h1[n] är inte begränsad ∀ n => System H1 är instabilt.
H2: h2[n] = δ[n] - 2 δ[n-1] => Σ |h2[n]| < ∞ => System H2 är stabilt.
Den totala kaskadkopplade impulssvaret h_tot[n] = h1[n] * h2[n] = 2^n u[n] * (δ[n] - 2 δ[n-1]) = 2^n u[n] - 2·2^{n-1} u[n-1] = 2^0 δ[n] + 2^n u[n-1] - 2^n u[n-1] = δ[n]. Därför Σ |h_tot[n]| = 1 < ∞ => Det totala kaskadkopplade systemet är stabilt.
Anm: Stabilisering genom kaskadkoppling är dock inget som används allmänt i praktiska sammanhang; återkoppling är den vanliga metoden för att stabilisera instabila system.
Connections (6) est. points: 0
exam_1_q5
4 p
Snippet: "Ett tidsdiskret kausalt LTI-system H1, ... v[n] − 0,8 v[n−1] = 3 x[n]. System H1 kaskadkopplas med ett tidsdiskret LTI-system H2, som har impulssvaret h2[n] = 0,2^n u[n]. a) Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n]. (4 p)". Koppling: Uppgiften kräver exakt samma grundverktyg som i lektionen — bestämma delsystems impulssvar (eller känna igen dem), och beräkna totalimpulssvaret som konvolution / produkt av H(z)-funktioner. Lektionens beräkning av h_tot = h1 * h2 och resonemang om summabilitet/stabilitet ger direkt lösningsmetod för del (a). Därför motsvarar god kunskap i lektionen full poäng för denna subfråga (4 p).
exam_6_q4
5 p
Snippet: "Ett tidsdiskret LTI-system H1 har frekvensfunktionen H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0,5). Ett annat system H2 beskrivs av y[n] − 0,8 y[n−1] = x[n−1]. Ett nytt system bildas genom kaskadkoppling. Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] genom a) beräkningar i tidsdomänen (4 p) b) beräkningar i transformdomänen (4 p).". Koppling: Lektionens huvudpoäng — att h_tot[n] = h1[n] * h2[n], att avgöra stabilitet via summabilitet och hur impulssvar kan kombinera (inkl. specialfall där konvolution ger enkel form) — är direkt tillämplig. Skillnaden är att här krävs även att härleda h1/h2 från givna uttryck (e^{jΩ}-form och differensekvation) och göra algebra i två domäner. Kunskap i lektionen ger i praktiken majoriteten av lösningen (konvolution och stabilitetsbedömning), därför tilldelas en stor men inte full poängandel (5/8).
exam_2_q1
5 p
Snippet: "Ett icke-kausalt tidskontinuerligt LTI-system H1, med impulssvaret h1(t) = e^{a t} u0(-t), är givet. Vi vill nu konstruera ett ... stabilt och kausalt LTI-system H2 med impulssvaret h2(t) = e^{a t} u(t). Systemet består av en kaskadkoppling av system H1 med ett annat system H3. Rita pol-nollställe för H3(s) samt beräkna h3(t). (8 p)". Koppling: Konceptuellt är detta mycket nära lektionens idé — hitta ett delsystem som i kaskad med ett givet system ger önskat (stabil/kausal) impulsrespons. Lektionen visar med ett diskret exempel hur kaskad kan ge en enkel total (δ[n]) och diskuterar stabilitet; här behövs H3(s)=H2(s)/H1(s) och invers transform. Därför ger lektionens metodik och insikt major hjälp (delvis annan tidsdomän och transformarbete krävs) — rimlig poängandel anges (5/8).
exam_5_q2
4 p
Snippet: "Systemet består av en kaskadkoppling av två tidskontinuerliga LTI-system A och B. a) Beräkna impulssvaret h_A(t) för system A. (4 p) b) Beräkna impulssvaret h(t) för det totala kaskadkopplade systemet. (5 p)". Koppling: Lektionen visar exakt principen att totalimpuls är convolution av delsystems impulssvar och hur man bedömer stabilitet utifrån summabilitet/integraler. Denna kunskap ger direkt lösning för att beräkna h(t)=h_A*h_B (särskilt del (b)). Eftersom uppgiften även kräver att först bestämma h_A(t) (transform/kretsanalys), tilldelas en poängandel som motsvarar den del lektionen täcker (4 poäng mot hela uppgiftens 9).
exam_4_q3
–
Snippet (problem + lösning summary): "Ett icke-stabilt och kausalt LTI-system H1 återkopplas negativt med stabilt kausalt H2. a) Härled H_tot(s)=H1/(1+H1 H2). Ange kausalitet och stabilitetskrav. b) Ex: H1=1/(s-1), H2=2 ⇒ H_tot(s)=1/(s+1) (stabil).". Koppling: Lektionens anmärkning nämner att återkoppling (feedback) är den vanligare metoden för stabilisering medan kaskadkoppling sällan används i praktiken. Detta examensfråga behandlar just stabilisering via återkoppling — nära konceptuellt men inte samma matematiska operation (seriekoppling vs feedback-formel). Därför ges ingen direkt poäng men tydlig motivation: lektionen förklarar skillnaden och när/var feedback används, vilket hjälper förståelsen.
exam_6_q2
–
Snippet: "Ett instabilt LTI-system H1(s)=1/(s-1) återkopplas negativt med impulssvaret h2(t)=K δ(t). a) För vilka K blir det totala återkopplade systemet stabilt? ...". Koppling: Lektionens slutnotering påpekar att återkoppling är standardmetod för att stabilisera instabila system (till skillnad från kaskad). Denna examensuppgift behandlar exakt feedback-stabilisering och är därför konceptuellt nära; lektionen ger relevant bakgrund men inte de specifika algebraiska stegen för feedback-analys — därför ingen poäng (prerequisite/motivation-only).