Lesson 9 — Summary

11 assignments · 0 connections · est. points from connections: 0
Conn. density: 0.0/assignment
Avg. pts/assignment: 0.0

9.1 0p from connections

Förhållandet mellan utsignalen y[n] och insignalen x[n] för ett tidsdiskret kausalt LTI-system beskrivs av följande differensekvation, tillsammans med de angivna initialtillstånden…
Show full question
Förhållandet mellan utsignalen y[n] och insignalen x[n] för ett tidsdiskret kausalt LTI-system beskrivs av följande differensekvation, tillsammans med de angivna initialtillstånden: 2 y[n+2] - 3 y[n+1] + y[n] = 4 x[n+2] - 3 x[n+1], y[-1] = 0, y[-2] = 1. a) Beräkna systemets utsignal y[n] för insignalen x[n] = 0.25^n · u[n]. Ange även vilken del av y[n] som är zero-input-komponenten y_zi[n] och vilken del som är zero-state-komponenten y_zs[n]. b) Vilken del av y[n] i uppgift a) är en transient signaldel y_trans[n] och vilken del av y[n] är en stationär signaldel y_stat[n]?
Solution (notes)
a) Kausalt (RT-)system. Skriv om differensekvationen på negativ form så initialtillstånden kan användas med enkelsidiga z‑transformen. Differensekvation (omskriven): 2y[n+2] - 3y[n+1] + y[n] = 4x[n+2] - 3x[n+1] Enkelsidig z‑transform (med y[n<0]=0): använd z^{-1}operatorer och flytta termer. Ger efter omformning (2 - 3z^{-1} + z^{-2}) Y[z] + 1 = (4 - 3z^{-1}) X[z] Lösning för Y[z]: Y[z] = (-z^2)/(2z^2 - 3z + 1) + X[z]·(4z^2 - 3z)/(2z^2 - 3z + 1) Dela upp i två signaler Y = Y_{zi} + Y_{zs} där X[z] = z/(z-0.25) (givet). Kvadratskomplettera nämnaren: 2z^2 - 3z + 1 = 2(z-0.5)(z-1). Beakta konvergensområden (systemet är kausalt enligt uppgift) ⇒ ROC för H[z] och för Y_{zi}[z] är av typen |z|>R0. Med poler i z=0.5 och z=1 blir ROC ∩ ⇒ |z|>1. Partialbråksuppdelning av Y_{zi}/z ger Y_{zi}[z] = 0.5·z/(z-0.5) - z/(z-1), vilket motsvarar y_{zi}[n] = (0.5^{n+1}-1)u[n]. För Y_{zs}[z] multiplicera X[z] med H[z] och partialbråksuppdela (se beräkning). Slutligen erhålls y[n] = y_{zi}[n] + y_{zs}[n] = (0.5^{n+1}-1)u[n] + (-4/3·0.25^n + 2·0.5^n + 4/3)u[n] b) Begränsat slutvärde: lim_{n→∞} y_{trans}[n] = 0 ⇒ y_{stat}[n] består av frekvens- och konstanta signaler. Här y_{stat}[n] = 1/3·u[n].
Connections (4) est. points: 0
exam_4 assignment 5
8 p
IDENTICAL problem: same difference equation and same task (rewrite to negative form, use one-sided z‑transform with initial conditions, split Y into zero-input and zero-state, partial fractions and inverse z). Knowing the lesson exactly yields the full solution.
exam_3 assignment 4
5 p
Very close connection: the exam asks (part b) for the zero-input response y_zi[n] from a difference equation with given initial conditions. The lesson teaches the required steps (rewrite to negative form, one‑sided z‑transform including initial terms, partial‑fraction decomposition and inverse z) so a student mastering the lesson would obtain the bulk of the points for that subquestion.
exam_6 assignment 1
–
Strong conceptual relation: this continuous‑time problem splits the solution into zero‑state and zero‑input parts and uses one‑sided Laplace transforms to account for initial conditions. The methods and reasoning (handling initial terms in the transform domain, separating responses) are directly analogous to the discrete one‑sided z‑transform procedure taught in the lesson.
exam_6 assignment 4
–
Related technique: the solution computes individual impulse responses (via z‑domain expressions like 1/(z−a)) and obtains the cascade impulse response by convolution or by multiplying H(z) and partial‑fraction inversion. These z‑domain manipulations, partial fractions and inverse transforms are the same skills used in the lesson when forming Y_zs[z] and inverting to y_zs[n].

9.2 0p from connections

Ett tidsdiskret energifritt LTI-system med impulssvar h[n] = 2 · (1/3)^n · u[n] genererar, för en viss insignalen x[n], utsignalen y[n] = (-2)^n · u[n]. Bestäm den aktuella insigna…
Show full question
Ett tidsdiskret energifritt LTI-system med impulssvar h[n] = 2 · (1/3)^n · u[n] genererar, för en viss insignalen x[n], utsignalen y[n] = (-2)^n · u[n]. Bestäm den aktuella insignalen x[n].
Solution (notes)
Givet energifritt LTI‑system enligt uppgift så y[n] = y_{zs}[n] = (x*h)[n]. I z‑domänen: Y[z] = X[z]·H[z] ⇒ X[z] = Y[z]/H[z] = Y[z]·1/H[z]. Givet Y[z] = Z{(-2)^n·u[n]} = z/(z+2) , |z|>2. H[z] = 2·Z{(1/3)^n u[n]} = 2·(z/(z-1/3)), |z|>1/3. Därav X[z] = (z/(z+2))·(z-1/3)/(2z) = 1/2 - 7/6 · 1/(z+2), |z|>2. Inverse z‑transform (Tabell): x[n] = 1/2 δ[n] - 7/6·(-2)^n u[n-1]. (Alternativ form ges i noteringarna.)
Connections (5) est. points: 0
exam_2 - question 5
5 p
Very close match: both require using Z-domain division to get one system function from another and reasoning about ROC/poles. Snippet: "Då ett tidsdiskret LTI-system matas med insignalen x[n] = (0.5^n + 1) u[n] erhålles utsignalen y[n] = 2δ[n] − 1.5δ[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H(z), inklusive dess konvergensområde, samt rita systemfunktionens fullständiga pol-nollställdiagram." The lesson shows X[z] = Y[z]/H[z], partial-fraction and inverse Z-transform — the same algebraic steps (here used to compute H(z)=Y/X). The exam also asks for pol-zero plot (not covered by lesson), so I award 5/8 points.
exam_3 - question 4
3 p
Directly related technique: forming H[z] from a difference equation using Z-transform algebra. Snippet: "y[n] + 0.25 y[n−2] = 2 x[n] + x[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H[z]." The lesson works with Z-domain division and ROC and inverse transforms; that directly gives the method to derive H[z] from the equation. The exam part a) is small (3 points) and requires no extra advanced steps beyond what the lesson teaches.
exam_6 - question 4
4 p
Strong connection through computing impulse response of a cascade by transform-domain multiplication and inversion. Snippet: "Ett tidsdiskret LTI-system H1 har frekvensfunktionen H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0,5). Ett annat ... H2 ... y[n] − 0,8 y[n−1] = x[n−1]. ... Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] genom ... a) beräkningar i tidsdomänen b) beräkningar i transformdomänen." Lesson covers forming X[z]=Y[z]/H[z], partial fractions and inverse Z-transform; those same skills are needed to multiply/divide transfer functions, perform partial fraction expansion and inverse transform to get h[n]. Some additional steps (finding each subsystem's h[n]) are required, so I assign 4/8.
exam_4 - question 5
2 p
Related by inverse Z-transform and convolution concepts. Snippet: "2 y[n+2] − 3 y[n+1] + y[n] = 4 x[n+2] − 3 x[n+1], y[−1]=0, y[−2]=1. Beräkna y[n] för x[n] = 0.25^n u[n]. Ange y_zi[n] och y_zs[n]." The lesson's Z-domain manipulation (Y/X, partial fractions, inverse Z-transform) directly helps compute the zero-state component and invert transforms; initial-condition (zero-input) handling is additional material. Hence a minor credit of 2/8.
exam_1 - question 5
3 p
Related through use of Z-transform to combine subsystems and compute overall impulse response. Snippet: "Ett tidsdiskret kausalt LTI-system H1 ... v[n] − 0,8 v[n−1] = 3 x[n]. System H1 kaskadkopplas med ... H2, h2[n] = 0,2^n u[n]. a) Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n]." The lesson demonstrates division/multiplication in Z-domain and inverse z-transform (partial fractions) to get time-domain sequences — exactly the central steps needed to find the cascade impulse response, though the exam also needs cascade/realization reasoning, so I assign 3/8.

9.3 0p from connections

Ett tidsdiskret kausalt LTI-system med insignalen x[n] och utsignal y[n] har systemfunktionen H(z) = z / ((z + 0.2)(z - 0.8)). a) Beräkna utsignalens zero-state-komponent y_zs[n]…
Show full question
Ett tidsdiskret kausalt LTI-system med insignalen x[n] och utsignal y[n] har systemfunktionen H(z) = z / ((z + 0.2)(z - 0.8)). a) Beräkna utsignalens zero-state-komponent y_zs[n] då insignalen är x[n] = 0.6^n · u[n]. b) Ange den systembeskrivande differensekvationen som beskriver förhållandet mellan utsignalen y[n] och insignalen x[n] för det aktuella systemet.
Solution (notes)
a) y_{zs}[n] = (x*h)[n] ⇔ Y_{zs}[z] = X[z]·H[z]. Givet X[z] från x[n] = 0.6·0.6^n u[n] (förskjuten): X[z] = 0.6·z/(z-0.6), |z|>0.6. Systemet är kausalt med H[z] = z/((z+0.2)(z-0.8)), ROC |z|>0.8. Därför Y_{zs}[z] = 0.6 z^2 / ((z-0.6)(z+0.2)(z-0.8)). Partialbråksuppdelning (dividera med z): Y_{zs}[z]/z = ... ⇒ efter uppdelning och invers transform fås y_{zs}[n] = ( -9/4·0.6^n - 3/20·(-0.2)^n + 12/5·0.8^n ) u[n]. b) H[z] = z/((z+0.2)(z-0.8)) = z/(z^2 - 0.6z - 0.16) = z·∑ (0.6 z^{-1} + 0.16 z^{-2} + ...) Genom att skriva diffekvation från (1)&(2) fås: y[n] - 0.6 y[n-1] - 0.16 y[n-2] = x[n].
Connections (5) est. points: 0
exam_6, assignment 4
6 p
Nästan samma typ av uppgift: här ska man bestämma h[n] för ett kaskadkopplat diskret system både i tidsdomänen (konvolution) och i transformdomänen (H(z)=H1(z)H2(z) och partialbråksuppdelning). Snippet: "H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0.5). H2 beskrivet av y[n]−0.8 y[n−1] = x[n−1]. Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] genom a) beräkningar i tidsdomänen b) i transformdomänen." Lösning visar h1[n]=0.5^{n−1}u[n−1], h2[n]=0.8^{n−1}u[n−1] och konvolution/partialbråksuppdelning för att få h[n]. Detta är mycket nära 9.3:s moment: Z-transform, produkt H(z), partialbråksuppdelning och invers z-transform / konvolution.
exam_3, assignment 4
5 p
Tät koppling till lektionen som härleder differensekvation från H[z] och Z-transformmetoder. Snippet: "y[n] + 0.25 y[n−2] = 2 x[n] + x[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H[z]. Ange även dess konvergensområde. b) Beräkna zero-input response y_zi[n]." Lösning använder Z-transform, faktoriserar poler, bestämmer ROC och inverterar via partialbråksuppdelning/tabeller — tekniker som lektionen 9.3 demonstrerar (H[z]↔differensekvation, partialbråksuppdelning, inverse z-transform).
exam_5, assignment 4
4 p
Direkt samband med grundidén Y(z)=X(z)H(z) och beräkning av H(z) genom division. Snippet: "Givet x[n]=(0.5^n + 1)u[n] och y[n]=2δ[n] − 1.5δ[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H(z), inklusive ROC, samt rita pol-nollställe-diagram. b) Skissa |H(Ω)|... e) Beräkna impulssvaret h[n]." Lösningen bildar X(z), Y(z), beräknar H(z)=Y/X, bestämmer ROC, pol/noll och inverterar — samma verktyg som i 9.3 del (a).
exam_1, assignment 5
4 p
Mycket nära användning av Z-transform och konvolution för att hitta totalsystemets impulsrespons i en kaskad. Snippet: "System H1: v[n] − 0.8 v[n−1] = 3 x[n]. H2: h2[n] = 0.2^n u[n]. a) Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n]." Lösning: härled H1(z), H2(z), multiplicera eller konvolvera exponentiella impulser och gör partialbråksuppdelning — metoder som lektionen lär ut.
exam_4, assignment 6
3 p
Relaterat moment: bestäm H(z) från ett signalflödesschema och använd H(e^{jΩ}) för att beräkna utsignal på en sinusinsignal. Snippet: "a) Rita fullständigt pol-nollställediagram för H(z). b) Beräkna y[n] för x[n]=3·sin(π/2 n)." Lektionen 9.3 del (b) visar hur man går från H[z] till tidsdomänsdifferensekvation/egenskaper och hur man använder frekvenssvar för sinustoner, samma tekniker krävs här.

9.4 0p from connections

Tre olika tidsdiskreta LTI-system H1 och H2 med impulssvar h1[n] respektive h2[n] i uppgift a) och b) nedan. - Rita fullständigt pol-nollställediagram, dvs. inklusive nivåkonstant…
Show full question
Tre olika tidsdiskreta LTI-system H1 och H2 med impulssvar h1[n] respektive h2[n] i uppgift a) och b) nedan. - Rita fullständigt pol-nollställediagram, dvs. inklusive nivåkonstant och ange konvergensområde (ROC), för motsvarande systemfunktioner H1[z] respektive H2[z]. - Bestäm även stabilitetsegenskapen för respektive system, utgående från systemfunktionerna – inte från impulssvarens utseende. a) System H1 har impulssvaret h1[n] = (0.5)^n · u[n]. b) System H2 har impulssvaret h2[n] = 2^n · (u[n] - u[n-8]).
Solution (notes)
a) h_1[n] = (0.5^n - 1)u[n]. Från tabell: H_1[z] = z/(z-0.5) - z/(z-1) = -0.5 z / ((z-0.5)(z-1)), ROC |z|>1. Pol‑nollställediagram: en pol på enhetscirkeln och en innanför → enhetscirkeln är rand till ROC ⇒ systemet är marginellt stabilt. b) h_2[n] = 2^n (u[n] - u[n-8]) = ∑_{m=0}^7 2^m δ[n-m]. Z‑transform via definition: H_2[z] = ∑_{n=0}^7 2^n z^{-n} = ((2/z)^0 - (2/z)^8)/(1-2/z) ⇒ efter omformning får poler i z=0 och z=2, nollställen på cirkel radie 2 vid vinklar k·2π/8. Pol‑nollställdiagram: alla poler i origo (FIR‑filter) ⇒ ROC |z|>0 ⇒ enhetscirkeln i ROC ⇒ systemet är stabilt. Notera att nollstället i z=2 cancellerar polen i z=2 om sådan förekommer.
Connections (4) est. points: 0
exam_6 - 4
5 p
Snippet: “Ett tidsdiskret LTI-system H1 har frekvensfunktionen H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0,5). Ett annat ... H2: y[n] − 0,8 y[n−1] = x[n−1]. ... Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] ... (lösning: h1[n]=0.5^{n-1}u[n-1], h2[n]=0.8^{n-1}u[n-1]; h = convolution / product in Z-domain).” Connection: this question is essentially the same class of task as lesson 9.4 — compute Z‑transforms of exponential sequences, identify poles/ROC, and get impulse response of a cascade by time‑domain convolution or Z‑domain multiplication. The lesson works through 0.5^n terms, Z‑transforms and pole/ROC reasoning, so mastering 9.4 would directly provide most steps needed (deriving h1/h2, doing the convolution or partial fractions). I assign 5/8 points because the exam question requires applying the convolution/partial‑fraction steps shown in the lesson and some algebraic simplification beyond the specific examples in 9.4.
exam_2 - 5
5 p
Snippet: “Då ett tidsdiskret LTI-system matas med insignalen x[n] = (0.5^n + 1) u[n] erhålles utsignalen y[n] = 2δ[n] − 1.5δ[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H(z), inklusive dess konvergensområde, samt rita pol‑nollställediagram.” Connection: this problem requires forming X(z) for 0.5^n and 1·u[n], dividing Y(z)/X(z) to get H(z), determining ROC and pole/zero positions and stability — exactly the kinds of Z‑transform, ROC and pole/zero reasoning practiced in lesson 9.4 (lesson shows transforms for 0.5^n and u[n], expresses H(z) in rational form and interprets poles/ROC). I give 5/8 points: the lesson gives the main transform pairs and ROC intuition so it covers the bulk of the solution, but the exam asks for algebraic division/partial‑fractions and plotting which require some additional steps.
exam_1 - 5
4 p
Snippet: “Ett tidsdiskret kausalt LTI-system H1 ... v[n] − 0,8 v[n−1] = 3 x[n]. System H1 kaskadkopplas med ... H2, som har impulssvaret h2[n] = 0,2^n u[n]. a) Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n].” Connection: this is a cascade of an IIR defined by a first‑order difference equation and a second exponential impulse response; the solution uses Z‑transforms for exponentials, pole locations and convolution of exponentials to get the total h[n]. Lesson 9.4 demonstrates computing Z‑transforms of 0.5^n/u[n] terms, ROC and pole/zero plotting and also handling a finite/causal exponential sequence — so understanding 9.4 supplies the core techniques. Points 4/8 because the exam also contains system algebra (combining gain factors, difference‑equation → impulse response) beyond the exact examples in the lesson.
exam_4 - 4
4 p
Snippet: “Ett tidsdiskret energifritt LTI-system har impulssvaret h[n] = δ[n] + (1/3)^n · u[n−1]. a) Bestäm systemets kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap. b) Beräkna systemets utsignal y[n] för insignalen x[n] = u[n+3] − u[n−3].” Connection: lesson 9.4 covers determining Z‑transforms of sequences made of exponentials and steps, ROC and stability/marginal stability, and computing outputs via convolution with finite support signals. Those techniques directly apply to checking summability/ROC and performing the convolution needed here. Assigned 4/8 points because the exact algebra and piecewise convolution with shifted finite‑support signals require additional bookkeeping though the conceptual tools come from 9.4.

9.5 0p from connections

Två kausala tidsdiskreta LTI-system, med insignalen x[n] och utsignal y[n], beskrivs av differensekvationerna nedan. Beräkna impulssvaren h[n] för var och en av de två systemen. …
Show full question
Två kausala tidsdiskreta LTI-system, med insignalen x[n] och utsignal y[n], beskrivs av differensekvationerna nedan. Beräkna impulssvaren h[n] för var och en av de två systemen. a) y[n] + 3 y[n-1] + 2 y[n-2] = x[n] + 3 x[n-1] + 3 x[n-2] b) y[n] - y[n-1] + 0.5 y[n-2] = x[n] + 2 x[n-1]
Solution (notes)
Sök: h[n] = Z^{-1}{H[z]} där H[z] = Y_{zs}[z]/X[z]. Använd dubbel- eller enkelsidig z‑transform på differensekvationen (systemet är kausalt och H[z] inte beroende av systemets begynnelseenergi) ⇒ Y[z] = Y_{zs}[z]. a) Differensekvation: y[n] + 3 y[n-1] + 2 y[n-2] = x[n] + 3 x[n-1] + 3 x[n-2]. Enkel z: (1 + 3 z^{-1} + 2 z^{-2}) Y[z] = (1 + 3 z^{-1} + 3 z^{-2}) X[z]. Ger H[z] = Y[z]/X[z] = (1 + 3 z^{-1} + 3 z^{-2})/(1 + 3 z^{-1} + 2 z^{-2}) = (z^2 + 3z + 3)/(z^2 + 3z + 2). Partialbråksuppdelning enklast för H[z]/z: H[z]/z = (z^2+3z+3)/(z(z+2)(z+1)) ⇒ dela upp och invers transform (Tabell) Slutresultat: h[n] = 3/2 δ[n] + 1/2 (-1)^n - (-1)^n u[n] (se tabellnotering). (Formeln i noteringarna: h[n] = 3/2 δ[n] + (1/2)(-1)^n - (-1)^n)u[n], se Tab.10:1 & 10:4 för exakta termer.) b) Liknande metod för differensekvationen y[n] - y[n-1] + 0.5 y[n-2] = x[n] + 2 x[n-1]. Beräkna H[z] = (1 + 2 z^{-1})/(1 - z^{-1} + 0.5 z^{-2}). Poler: komplexa konjugat ⇒ z = (1/2) ± j(1/2) = (1/√2) e^{±jπ/4}, ROC |z|>1/√2 ⇒ systemet är kausalt. h[n] innehåller termer r^n cos(Ω0 n) och r^n sin(Ω0 n) med r=1/√2, Ω0=π/4. Omformning ger t.ex. h[n] = (1/√2)^n (cos(π/4 n) + 5 sin(π/4 n)) u[n].
Connections (5) est. points: 0
exam_1, assignment 5
4 p
Direct match: compute total impulse response of cascade H1 (given by difference equation) and H2 (given h2[n]=0.2^n u[n]). Method is exactly: find H1(z) from diff. eq., H2(z) from h2[n], multiply H(z)=H1(z)H2(z), partial fractions/inverse Z to get h[n]. Snippet: "Ett tidsdiskret kausalt LTI-system H1 ... v[n] − 0,8 v[n−1] = 3 x[n]. System H1 kaskadkopplas med ... h2[n] = 0,2^n u[n]. a) Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n]. (4 p)" (solution: h[n] = (4·0.8^n - 0.2^n) u[n]).
exam_2, assignment 4
4 p
Very strong connection: asks for total impulse response of two discrete LTI blocks after sampling and DT LTI with h[n]=1/2 sinc_N(n/2) — solution uses H[z]=X/Y and product of transforms or time-domain convolution; exactly same tools (Z-transform, ROC, inverse Z / convolution). Snippet: "Rita utsignalens amplitudspektrum |Y(Ω)| ... LTI-system med impulssvar h[n] = 1/2 sinc_N(n/2) ..." (solution constructs X[Ω], H[Ω] and uses product in DT domain).
exam_3, assignment 4
3 p
Strongly related: form H[z] from a difference equation and compute zero-input (free) response using unilateral Z-transform and inverse transforms — the lesson covers deriving H[z]=Y_zs/X and inverse Z to get impulse or homogeneous responses (partial fractions, complex poles). Snippet: "y[n] + 0.25 y[n−2] = 2 x[n] + x[n−1], with initial states y[−1]=0.5,y[−2]=−1. a) Beräkna systemfunktionen H[z]. b) Beräkna zero-input response y_zi[n]."
exam_4, assignment 5
4 p
Direct application: solve a higher-order difference equation via Z-transform (accounting for shifts), do partial fraction decomposition and inverse Z to produce y[n] (split into zero-input and zero-state). Lesson demonstrates same procedure (single/dual-sided Z, ROC, partial fractions, inverse table, r^n cos/sin terms). Snippet: "2 y[n+2] − 3 y[n+1] + y[n] = 4 x[n+2] − 3 x[n+1], y[−1]=0,y[−2]=1. Beräkna y[n] för x[n]=0.25^n u[n] och ange y_zi[n] och y_zs[n]."
exam_6, assignment 4
4 p
Very close match: cascade of two discrete systems where H1 is given (frequency-domain form) and H2 by a difference equation; task is to compute total impulse response both in time domain (convolution) and transform domain — same steps as lesson: obtain H[z], multiply, perform partial fractions and inverse Z (or convolve exponentials). Snippet: "Ett tidsdiskret LTI-system H1 har frekvensfunktionen H1[Ω]=1/(e^{jΩ}−0.5). Ett annat H2 beskrivs av y[n]−0.8 y[n−1]=x[n−1]. Kaskadkoppla H1 och H2. Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] a) i tidsdomänen b) i transformdomänen."

9.6 0p from connections

Bestäm amplitudkarakteristiken |H(e^{jΩ})| och faskarakteristiken arg H(e^{jΩ}) för det tidsdiskreta filter som definieras av följande signalflödesschema (se figur i uppgiften). (…
Show full question
Bestäm amplitudkarakteristiken |H(e^{jΩ})| och faskarakteristiken arg H(e^{jΩ}) för det tidsdiskreta filter som definieras av följande signalflödesschema (se figur i uppgiften). (Figur: signalflödesschema där x[n] summeras till y[n], med en återkopplingsgren som innehåller en fördröjningsblock D följt av en förstärkning 0.4 som matas tillbaka till summeraren.)
Solution (notes)
Från signalflödesschema: y[n] = x[n] + 0.4 y[n-1]. Differensekvation: y[n] - 0.4 y[n-1] = x[n]. Z‑transform: (1 - 0.4 z^{-1}) Y[z] = X[z] ⇒ H[z] = Y[z]/X[z] = 1/(1 - 0.4 z^{-1}) = z/(z - 0.4), ROC |z|>0.4. Systemet är kausalt (utgången beror inte på framtida insignalvärden). Enhetscirkeln |z|=1 ingår i ROC ⇒ frekvensfunktionen existerar och systemet är stabilt. Frekvensfunktion: H(e^{jΩ}) = e^{jΩ}/(e^{jΩ} - 0.4) = (cosΩ - 0.4 + j sinΩ)^{-1}·e^{jΩ}. Magnitud och argument kan skrivas som |H(e^{jΩ})| = 1/√((cosΩ - 0.4)^2 + sin^2 Ω), arg H(e^{jΩ}) = Ω - arctan( sinΩ/(cosΩ - 0.4) ). (Tips i notering: när man låter z = e^{jΩ} fås arg med lämpliga grenval.)
Connections (4) est. points: 0
exam_1_q5
4 p
Snippet: "v[n] − 0.8 v[n−1] = 3 x[n]. System H2: h2[n] = 0.2^n u[n]. a) Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n]." Connection: The lesson shows how to form a first-order difference equation, compute its Z-transform H(z)=1/(1−a z^{-1}) (and alternative form z/(z−a)), determine ROC, causality and stability, and compute H(e^{jΩ}) magnitude/phase. Those steps are directly used in this exam problem to get each subsystem's H(z), ROC and impulse response before convolving to get the overall h[n]. The exam requires the extra step of cascading/convolving two first-order impulse responses; since the lesson does not cover cascade convolution in detail here, I assign partial credit (≈half of the 8 points) for the overlap.
exam_6_q4
4 p
Snippet: "Ett tidsdiskret LTI-system H1 har frekvensfunktionen H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0.5). Ett annat system H2 beskrivs av y[n] − 0.8 y[n−1] = x[n−1]. [...] Beräkna det totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] genom a) tidsdomän b) transformdomän." Connection: This is closely related: H2 is a first-order difference equation of the same form as the lesson (y[n] − a y[n−1] = ...), and H1 is a simple first-order rational function in z. The lesson directly provides the method to get H(z)=z/(z−a), ROC |z|>a, causality/stability conclusions and compute H(e^{jΩ}). These are the core steps used to derive each subsystem's impulse response and to compute the cascade via convolution or via multiplication in the z-domain. The convolution/multiplication step is additional, so I give partial credit (~half the exam question points).
exam_4_q6
4 p
Snippet: "Rita det fullständiga pol-nollställediagrammet för systemets systemfunktion H(z). (5 p) b) Beräkna systemets utsignal y[n] för x[n] = 3·sin(π/2 n)." Solution: H(z) = (z + 0.5)/(z − 0.5). Connection: The lesson derives H(z)=z/(z−0.4) from a first-order difference equation and explains ROC, causality/stability and how to evaluate H(e^{jΩ}) magnitude and phase for sinusoidal inputs. That workflow (difference eqn → H(z) form → check ROC/causality/stability → compute H(e^{jΩ}) and output for a sinusoid) is exactly what's required in this exam question. The exam's numerator differs (z+0.5 vs z), so it's not identical; award partial credit accordingly.
exam_3_q4
3 p
Snippet: "y[n] + 0.25 y[n−2] = 2 x[n] + x[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H[z]. Ange konvergensområde. b) Beräkna zero-input response y_zi[n]." Connection: The lesson teaches forming the Z-transform from a difference equation, solving for H(z) and identifying ROC, causality and stability—directly applicable to part (a). It also explains how to evaluate H(e^{jΩ}), which helps interpreting responses. However, the exam has a higher-order (second-order) homogeneous part and asks explicitly for zero-input response; that requires extra steps (characteristic roots, partial fractions) not fully covered in the short lesson. Hence a smaller partial credit allocation.

9.7 0p from connections

Tre olika kausala tidsdiskreta filter, med insignalen x[n] och utsignal y[n], beskrivs av differensekvationerna i uppgift a) respektive b). Utför följande för varje filter: - Rit…
Show full question
Tre olika kausala tidsdiskreta filter, med insignalen x[n] och utsignal y[n], beskrivs av differensekvationerna i uppgift a) respektive b). Utför följande för varje filter: - Rita pol-nollstellediagrammet för H[z] samt de pol- och nollställevektorer som finns för systemfunktionen, för något lämpligt värde på z. - Ange uttrycken för amplitudkarakteristiken |H(e^{jΩ})| och faskarakteristiken arg H(e^{jΩ}) utgående från pol- och nollställvektorerna. - Skissera amplitudkarakteristiken |H(e^{jΩ})| utgående från pol- och nollställvektorerna. Du behöver bara beräkna |H(e^{jΩ})| exakt vid lokala min och max. Skissa en rimlig amplitudkarakteristik för övriga Ω. - Ange, med motivering, vilken typ av frekvensselektivt filter systemet utgör. a) y[n] + 0.9 y[n-1] = x[n] b) y[n] - 0.9 y[n-1] = x[n]
Solution (notes)
Båda systemen z‑transformeras från differensekvtionen med antagande att systemen är energifria ⇒ H[z] = Y_{zs}[z]/X[z]. Om systemen är kausala så är ROC av typen |z|>R0 där R0 är avståndet från origo till den pol i H[z] som ligger längst bort från origo. Om R0<1 (enhetscirkeln inom ROC) ⇒ systemet är stabilt och frekvensfunktionen finns. Exempel (a): Z{y[n] + 0.9 y[n-1]} = Z{x[n]} ⇒ (1 + 0.9 z^{-1}) Y[z] = X[z] ⇒ H[z] = 1/(1 + 0.9 z^{-1}) = z/(z + 0.9), ROC |z|>0.9. Pol‑nollställa diagram och tolkning: polen nära enhetscirkeln ger smal bandbredd; i detta fall systemet förstärker högfrekventa signaler ⇒ högpassbeteende ( |H(Ω)| har max nära Ω=π). b) Vid teckenändring (y[n] - 0.9 y[n-1]) samma beräkning men pol vid z=0.9 istället för z=-0.9 ⇒ lågpassbeteende (max vid Ω=0).
Connections (4) est. points: 0
exam_1 Q5
4 p
Snippet: "H1: v[n] − 0.8 v[n−1] = 3 x[n]. H2: h2[n] = 0.2^n u[n]. a) Beräkna totala impulssvaret h[n]." Connection: The lesson directly shows how to z‑transform a difference equation to get H[z]=Y[z]/X[z], how causality sets ROC of type |z|>R0 (R0 = furthest pole), and how pole locations (e.g. 0.8, 0.2) determine stability/behavior. Knowing 9.7 supplies the principal step H1[z]=3/(1−0.8 z^{-1}), identification of ROC and interpretation of poles; remaining work (multiplying with H2, partial‑fraction/inversion) is extra. Condensed solution technique from lesson gives substantial credit for part a).
exam_2 Q5
6 p
Snippet: "Given x[n] = (0.5^n + 1) u[n] and y[n] = 2 δ[n] − 1.5 δ[n−1]. a) Beräkna H(z), inklusive konvergensområde, samt rita pol‑nollställsdiagram. b) Skissera |H(Ω)|." Connection: This is a near‑direct application of 9.7: compute X[z] and Y[z], then H[z]=Y[z]/X[z]; use causality to set ROC (|z|>max pole radius) and determine stability (ROC includes unit circle iff R0<1). Lesson also explains interpreting pole positions to sketch |H(Ω)| (polen nära unit circle → narrowband/peaking; sign/angle affects low/highpass). Thus mastering 9.7 would give most of the steps needed to get a large portion of the points (derivation, ROC, pole/zero plot and basic amplitude interpretation).
exam_3 Q4
4 p
Snippet: "y[n] + 0.25 y[n−2] = 2 x[n] + x[n−1]; ange H[z] och konvergensområde. Beräkna zero‑input response y_zi[n] med givna initialtillstånd." Connection: 9.7 directly covers forming H[z] from a difference equation and choosing the ROC for a causal system (|z|>R0 determined by pole radii) and assessing stability. That yields the H[z] and ROC in part (a). The zero‑input (free) response requires solving the homogeneous recurrence (additional steps), so the lesson supplies the critical transform/ROC steps but not all of (b).
exam_6 Q4
5 p
Snippet: "H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0.5). H2 given by y[n] − 0.8 y[n−1] = x[n−1]. Beräkna totala kaskadkopplade systemets impulssvar h[n] i tidsdomän respektive transformdomän." Connection: The lesson teaches how to obtain H[z] from a difference equation (and how ROC for causal systems is |z|>pole radius) and how pole locations give the causal impulse responses (powers like 0.5^n, 0.8^n). Using 9.7 you can extract h2[n] from the difference equation and interpret H1's pole to write h1[n]; then either convolve in time or multiply H[z]s in z‑domain and invert. Thus the lesson directly provides the central method used in both (time and transform) solutions; remaining algebra (finite convolution or partial fractions) is routine but separate.

9.8 0p from connections

Nedan visas signalflödesschemat för ett tidsdiskret LTI-system med insignalen x[n] och utsignal y[n] (se figur i uppgiften). Beräkna systemets utsignal y[n] för den stationära ins…
Show full question
Nedan visas signalflödesschemat för ett tidsdiskret LTI-system med insignalen x[n] och utsignal y[n] (se figur i uppgiften). Beräkna systemets utsignal y[n] för den stationära insignalen x[n] = 3 · sin( (π/2) n ).
Solution (notes)
Givet insignalen x[n] = 3·sin( (π/2)n ). Om LTI‑systemet är stabilt genererar det utsignalen y[n] = 3·|H(e^{jπ/2})| · sin(π/2 n + arg H(e^{jπ/2})). Från signalflödesschema och tumregel (inför hjälpsignal s[n] efter summerare) fås differensekvationen: yskyld = x[n] + 0.5 s[n-1] etc. Efter algebra: (1 - 0.5 z^{-1}) Y[z] = (1 + 0.5 z^{-1}) X[z]. Så H[z] = (z + 0.5)/(z - 0.5), ROC |z|>0.5 ⇒ enhetscirkeln i ROC ⇒ systemet stabilt. H(e^{jπ/2}) = H(z)|_{z=j} = (0.5 + j)/( -0.5 + j ) = uttryck med fas = 2·arctan(2) + π (beroende på gren). Magnitud |H(e^{jπ/2})| = 1. Därav y[n] = 3·1·sin(π/2 n + 2·arctan(2) + π). (Tolkning och detaljer i beräkningarna i lösningen.)
Connections (4) est. points: 0
exam_4 assignment 6
8 p
IDENTICAL: From solution — block diagram → (1 - 0.5 z^{-1}) Y[z] = (1 + 0.5 z^{-1}) X[z] ⇒ H[z] = (z + 0.5)/(z - 0.5), ROC |z|>0.5. Evaluate on unit circle: H(e^{jπ/2}) = (0.5 + j)/(−0.5 + j), |H| = 1, arg = 2·arctan(2)+π ⇒ y[n] = 3·sin(π/2 n + 2·arctan(2) + π). This is the same problem as the lesson assignment.
exam_2 assignment 6
6 p
Strongly related: Both require deriving H(z) from a signal‑flow diagram with adders and delays, determining ROC/pole locations, and using H(e^{jΩ}) to get the steady‑state sinusoidal output. Snippet from solution: "(derive) Y[z] = W[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}), W[z] = X[z]/(1+z^{-1}) ⇒ H[z] = (1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3})/(1+z^{-1}); then evaluate H(e^{jΩ}) to compute y[n] for x[n]=cos(π/3 n)." The methods and steps (flow→H(z)→H(e^{jΩ})→sinusoidal output) are the same; diagram and numerical values differ, so not identical but highly overlapping.
exam_3 assignment 4
3 p
Related: problem asks to form H[z] from a difference equation and quote ROC, then use transform methods to get responses. Snippet: "(1 + 0.25 z^{-2}) Y(z) = (2 + z^{-1}) X(z) ⇒ H(z) = (2 + z^{-1})/(1 + 0.25 z^{-2}), poles at z = ±j0.5, ROC |z|>0.5." The lesson's derivation of H[z], ROC and evaluation on the unit circle directly helps the first part; additional concepts (zero‑input response, initial conditions, partial fractions) are needed for the full exam solution, so partial credit is appropriate.
exam_6 assignment 4
–
Weaker but relevant (prerequisite): exam asks for impulse response of a cascade H1 and H2 (time‑domain convolution and transform methods). Snippet: "H1[z]=1/(z-0.5) ⇒ h1[n]=0.5^{n-1}u[n-1]; H2[z]=z^{-1}/(1-0.8 z^{-1}) ⇒ h2[n]=0.8^{n-1}u[n-1]; h[n] = h1*h2 (convolution) or multiply H1·H2 in z‑domain." The lesson focuses on getting H[z] from a flow diagram and evaluating H(e^{jΩ}); that method is a fundamental prerequisite for working with these cascade problems, but it doesn't directly provide the full cascade/convolution solution, so no direct points assigned (motivation only).

9.9 0p from connections

Ett tidsdiskret LTI-system har amplitudkarakteristik |H[θ]| och faskarakteristik arg H[θ] enligt figuren nedan (se figur i uppgiften). Bestäm systemets utsignal y[n] då dess insig…
Show full question
Ett tidsdiskret LTI-system har amplitudkarakteristik |H[θ]| och faskarakteristik arg H[θ] enligt figuren nedan (se figur i uppgiften). Bestäm systemets utsignal y[n] då dess insignalen är x[n] = 5 · cos( (π/4) n + π/3 ).
Solution (notes)
Tidsdiskret LTI‑system med insignalen x[n] = 5 cos(π/4 n + π/3). Om systemet är stabilt (frekvensfunktionen finns) genereras y[n] = 5·|H(e^{jπ/4})|·cos(π/4 n + π/3 + arg H(e^{jπ/4})). I uppgiften är systemets amplitud‑ och fasegenskaper |H[Θ]| och arg H[Θ] givna (ur grafer). För Θ=0.125 (motsvarar Ω=π/4) fås |H|≈1 och arg H≈0. Alltså y[n] = 5·1·cos(π/4 n + π/3 + 0) = 5 cos(π/4 n + π/3). (Utsignal = insignalen i detta fall.)
Connections (5) est. points: 0
exam_1, assignment 4(c)
2 p
Snippet: "Beräkna y[n] för x[n] = 2 + 5 cos(2π/3 n). (2 p)" → lösning: H(e^{j2π/3}) = 0 ⇒ y[n] = 2. Connection: same discrete‑time sinusoidal steady‑state concept as in lesson 9.9 — evaluate H(e^{jΩ}) at the input frequency, use |H| and arg H to get output amplitude and phase. Knowing lesson 9.9 gives the full method to solve this 2‑point subquestion.
exam_2, assignment 6(b)
3 p
Snippet: "Beräkna y[n] då x[n] = cos(π/3 n). (3 p)" → lösning uses y[n] = |H(e^{jπ/3})| cos(π/3 n + arg H(e^{jπ/3})). Connection: identical procedure for discrete‑time LTI response to a single cosine. Mastery of lesson 9.9 yields the answer for this entire subproblem (3 p).
exam_4, assignment 6(b)
3 p
Snippet: "Beräkna y[n] för x[n] = 3·sin(π/2 n). (3 p)" → solution: y[n] = 3·|H(e^{jπ/2})|·sin(π/2 n + arg H(e^{jπ/2})). Connection: same discrete sinusoid steady‑state formula as lesson 9.9; knowing the lesson directly provides the result for this 3‑point subquestion.
exam_3, assignment 3(a)
–
Snippet: "x(t) = 4 cos(2t). Solution: y(t) = 4·|H(j2)|·cos(2t + arg H(j2))." Connection: same frequency‑response principle (sinusoid → amplitude scale and phase shift) but in continuous time. Lesson 9.9 teaches the analogous discrete‑time concept; this is a strong conceptual prerequisite (hence no exam points assigned).
exam_5, assignment 1(a)
–
Snippet: "Insignal x(t)=6 + √104·cos(2t). Solution uses y(t)=6·H(0) + √104·|H(j2)|·cos(2t+arg H(j2))." Connection: identical steady‑state frequency‑response idea in continuous time. Lesson 9.9 gives the fundamental method (evaluate H at the sinusoid frequency) but because this exam question is continuous‑time, treat as a prerequisite (no points).

9.10 0p from connections

Flera olika LTI-system kan ha samma systemfunktion H[z], men olika konvergensområden – vilket motsvarar att de har olika impulssvar h[n] och olika kausalitetsegenskaper. a) Rita p…
Show full question
Flera olika LTI-system kan ha samma systemfunktion H[z], men olika konvergensområden – vilket motsvarar att de har olika impulssvar h[n] och olika kausalitetsegenskaper. a) Rita pol-nollställediagrammet för systemfunktionen H[z] = z (z - 1/2) / (z^2 - (3/2) z + 1/2) och ange alla möjliga konvergensområden samt vilken kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap motsvarande system har. b) Rita pol-nollställediagrammet för inverssystemets systemfunktion H^{-1}[z] = (z^2 - (3/2) z + 1/2) / (z (z - 1/2)). Ange även alla möjliga konvergensområden samt vilken kausalitetsegenskap och stabilitetsegenskap motsvarande system har.
Solution (notes)
a) H[z] = z(z - 1/2)/(z^3 - 27/8). Nollställen i z=0 och z=1/2. Poler bestäms av z^3 - 27/8 = 0 ⇒ z^3 = (3/2)^3 ⇒ z = 3/2 · e^{j2kπ/3}, k=0,1,2. Polerna ligger på cirkel med radie 1.5. Pol‑nollställdiagram visas. Det finns två möjliga ROC: 1) |z|>1.5 (utsidan) ⇒ kausalt system. Enhetscirkeln ligger inte i ROC ⇒ instabilt. 2) |z|<1.5 (insidan) ⇒ icke‑kausalt system. Detta icke‑kausala system är även antikausalt (h[n≥0]=0). Här ingår enhetscirkeln i ROC ⇒ systemet är stabilt. b) Information om inverssystemet: inverssystemets H̃[z] = 1/H[z] = z^3/(z(z-1/2))·1/(z^3 - 27/8)^{-1} ⇒ nollställen där H hade poler osv. Pol‑nollställdiagram för inverssystemet visar två möjliga konvergensområden: 0<|z|<0.5 (mellan polerna) ⇒ icke‑kausalt system och enhetscirkeln ej i ROC ⇒ instabilt; eller |z|>0.5 (utanför yttre pol) ⇒ kausalt men eftersom H̃[z] har fler nollställen än poler kan lim_{|z|→∞} |H̃[z]| = 0 och ROC begränsas till 0.5<|z|<∞ ⇒ systemet icke‑kausalt men enhetscirkeln ingår ⇒ stabilt (se detaljer i noteringarna).
Connections (5) est. points: 0
exam_2_q5
4 p
Snippet: “Då ett tidsdiskret LTI-system matas med insignalen x[n] = (0.5^n + 1) u[n] erhålles utsignalen y[n] = 2δ[n] − 1.5δ[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H(z), inklusive dess konvergensområde, samt rita systemfunktionens fullständiga pol‑nollställdiagram.” Motivation: This question directly asks for H(z), its pole/zero plot and ROC. Lesson 9.10 is focused on identifying zeros/poles, plotting PZ diagram and reasoning ROC → causality/stability (e.g. zeros at 0 and 0.5, ROC choices and unit‑circle inclusion). That knowledge maps to a large part of the exam task (deciding ROC from pole radii and concluding stability/causality). Algebra to derive H(z) from the supplied I/O is additional but the PZ/ROC reasoning from the lesson gives substantial credit.
exam_4_q6
3 p
Snippet: “Rita det fullständiga pol‑nollställdiagrammet för systemets systemfunktion H(z). … b) Beräkna systemets utsignal y[n] för den stationära insignalen x[n] = 3 · sin( (π/2) n ).” (solution: H(z) = (z+0.5)/(z-0.5), ROC |z|>0.5; evaluate H on unit circle) Motivation: The lesson’s emphasis on pole/zero locations, ROC options and whether the unit circle lies in the ROC (hence stability) is directly applicable. Also evaluating H(e^{jΩ}) for a sinusoid uses the same idea of inspecting PZ and checking unit‑circle membership shown in 9.10. The exam requires some additional algebraic evaluation, but the conceptual steps (interpret pole at 0.5, zero at −0.5, unit‑circle inclusion → stable → compute H on unit circle) come from the lesson.
exam_6_q4
3 p
Snippet: “Ett tidsdiskret LTI-system H1 har frekvensfunktionen H1[Ω] = 1/(e^{jΩ} − 0.5). Ett annat system H2 beskrivs av y[n] − 0.8 y[n−1] = x[n−1]. Kaskadkoppla H1 och H2 och beräkna totalt impulssvar h[n] (tidsdomän och transformdomän).” Motivation: Lesson 9.10 covers interpreting poles at a radius (here pole at z=0.5) and how product of system functions corresponds to convolution of impulse responses. Recognizing a pole at 0.5 and choosing the correct ROC/causality and then doing the transform‑domain multiplication / partial fraction inversion is directly related. The arithmetic of convolution/partial fractions is additional but the pole/ROC reasoning and mapping poles↔ROC↔stability is core and comes from the lesson.
exam_3_q4
2 p
Snippet: “Differensekvation y[n] + 0.25 y[n−2] = 2 x[n] + x[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H[z] … Ange konvergensområde och motivera.” (solution finds poles z = ±j0.5 and ROC |z|>0.5) Motivation: Lesson 9.10’s treatment of pole locations and the two possible ROCs (inside or outside a circle) and consequences for causality/stability is exactly the conceptual tool needed to answer this exam subproblem. The algebra solving the difference equation and computing partial fractions is separate; the lesson supplies the key PZ/ROC interpretation.
exam_1_q4
1 p
Snippet: “Ett tidsdiskret LTI-system har impulssvaret h[n] = (1/3)(δ[n]+δ[n−1]+δ[n−2]). b) Skissera amplitudkaraktäristik |H(Ω)| och ange vilken typ av filter. (i lösn.: H(z)=(1/3)(1+z^{-1}+z^{-2}), ROC |z|>1)” Motivation: This is a basic PZ/ROC exercise for a finite‑length FIR system. While the lesson deals with a rational H[z] with nontrivial pole locations (magnitude 1.5) rather than an FIR case, the same principles of forming H(z), plotting zeros, and deciding ROC/unit‑circle inclusion apply. Connection is fundamental but weaker (FIR vs IIR), so only a small point value is appropriate.

9.11 0p from connections

Ett antikausalt tidsdiskret LTI-system har systemfunktionen H[z] = z^2 / (z - 1/5). Bestäm systemets steg svar g[n].
Show full question
Ett antikausalt tidsdiskret LTI-system har systemfunktionen H[z] = z^2 / (z - 1/5). Bestäm systemets steg svar g[n].
Solution (notes)
G[z] = (u*h)[n] i z‑domänen: G[z] = U[z]·H[z]. U[z] = Z{u[n]} = z/(z-1), |z|>1. Enligt uppgift H[z] = 2z/(z - 1.5) och systemet är antikausalt ⇒ ROC |z|<1.5. Därför G[z] = (z/(z-1))·(2z/(z-1.5)) = 2 z^2 / ((z-1)(z-1.5)). Partialbråksuppdelning av G[z]/z ger: G[z] = -4· z/(z-1) - 6· z/(z-1.5) med rätt ROC (enligt uppgift ROC är |z|<1.5). Invers z‑transform (Tabell): g[n] = -4 u[n] - 6·1.5^n u[-n-1] (?) — i anteckningarna ges slutlig form: g[n] = -4 u[n] - 6·1.5^n u[-n-1]. (Se formelsamling Tab.10:3 & 10:13 för exakta inverser och konventioner; kontrollera tecken och ROC vid användning.)
Connections (4) est. points: 0
exam_3:5
5 p
Snippet: "I z-domänen: G[z] = U[z]·H[z] with U[z]=z/(z-1); H[z] = (z^6 - 1)/(z - 1) ⇒ G[z] = U[z]·H[z] and invert to get g[n] (result: g[n]=0 for n<0; g[n]=n+1 for 0≤n≤5; g[n]=6 for n≥6)." Why connected: The lesson is essentially the same operation — multiply U[z]=z/(z-1) (step) with H[z], use partial fractions and inverse Z to get g[n]. Knowing the lesson directly gives the Z-domain method (the full 5-point subquestion: 'z-transform calculations') used in this exam question.
exam_1:4
2 p
Snippet: "(a) Bestäm systemets stegsvar g[n]. ... H(z) = (1/3)(1 + z^{-1} + z^{-2}), G(z)=U(z)H(z) with U[z]=z/(z-1). Inversion gives g[n]." Why connected: The lesson shows exactly how to form G[z]=U[z]·H[z] with U[z]=z/(z-1) and invert via partial fractions/tables. That directly provides the method and essentially yields the 2-point subquestion (compute step response).
exam_6:4
4 p
Snippet: "H1[Ω]=1/(e^{jΩ}-0.5) and H2 given by y[n]-0.8 y[n-1]=x[n-1]. In transform domain: H1[z]=1/(z-0.5), H2[z]=1/(z-0.8); total H[z]=H1[z]·H2[z] and invert (partial fractions) to get h[n]." Why connected: The lesson works through multiplying Z-domain factors and using partial-fraction inversion to get time-domain sequences (including handling of ROC and causal/anti-causal terms). This matches and directly helps to solve the transform-domain part of this exam question (the 4-point transform-calculation subtask).
exam_2:5
3 p
Snippet: "Då insignalen x[n]=(0.5^n + 1) u[n] erhålles utsignalen y[n]=2δ[n] − 1.5δ[n−1]. a) Beräkna systemfunktionen H(z), inklusive dess konvergensområde." Why connected: The lesson gives U[z]=z/(z-1) for the step and demonstrates forming H[z]=Y[z]/X[z] using X[z] that includes a step term. The same manipulation (use of z/(z-1), partial fractions, ROC reasoning) is needed here; mastering the lesson yields substantial progress for the (multi-point) part a) — I estimate it covers about 3 of the question's points.